1) Найти области определения и значений данной функции f.
Для аргумента и функции нет ограничений: их значения - вся числовая ось.
2) Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование, т. е. является ли функция f: а) четной или нечетной:
f(-x)=(-x)³−1 = -x³−1 = -(x³+1). Значит, функция не чётная и не нечётная.
б) не периодическая.
3) Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат:
- пересечение с осью Оу (х = 0), у = -1.
- пересечение с осью Ох (у = 0), x³−1 = 0, x³ = 1, x = ∛1 = 1.
4) Найти промежутки знакопостоянства функции f.
На основе нулей функции имеем:
- функция отрицательна при х < 1 (x ∈ (-∞; 1),
- функция положительна при х > 1 (x ∈ (1; +∞).
5) на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает.
Найти точки экстремума, вид экстремума (максимум или минимум) и вычислить значения f в этих точка.
Находим производную функции и приравниваем нулю.
y' = 3x² = 0, x = 0 это критическая точка. Находим знаки производной левее и правее этой точки. Так как переменная в квадрате, то знак её положителен. Значит, функция на всей области определения возрастает.
Поэтому не имеет ни минимума, ни максимума.
6) Вторая производная y'' = 6x. Поэтому в точке х = 0 функция имеет перегиб. При x < 0 график функции выпуклый, при x > 0 вогнутый.
7) Асимптот функция не имеет.
S = v * t - формула пути
S = 5 км - расстояние; t = 1 ч 40 мин = 1 40/60 = 1 2/3 ч - время в пути
v = 5 : 1 2/3 = 5 : 5/3 = 5 * 3/5 = 3 (км/ч) - скорость отставания (на столько меньше скорость одного из велосипедистов)
S = 9 км - расстояние; t = 20 мин = 20/60 = 1/3 ч - время в пути
Пусть х (км/ч) - скорость одного велосипедиста, тогда х + 3 (км/ч) - скорость другого велосипедиста, v = х + х + 3 = 2х + 3 (км/ч) - скорость сближения. Уравнение:
(2х + 3) * 1/3 = 9
2/3х + 1 = 9
2/3х = 9 - 1
2/3х = 8
х = 8 : 2/3 = 8 * 3/2 = 4 * 3
х = 12 (км/ч) - скорость одного велосипедиста
12 + 3 = 15 (км/ч) - скорость другого велосипедиста
ответ: 12 км/ч и 15 км/ч
