Подарок упакован в коробку формы прямоугольного параллелепипеда с квадратом в основании. Длина обёрточной ленты равна 290 см.

Если обернуть коробку, как на рисунке a, то не хватит 10 см.
Если обернуть коробку, как на рисунке b, то на завязывание банта останется 40 см.

Какова длина стороны основания коробки? см.

Какова высота коробки? см.

Пусть сторона нижнего основания а, верхнего -в.

По заданию в  = (2/3)а.

Проведём диагональное сечение.

В сечении - равнобокая трапеция высотой 3 и углом при нижнем основании 60 градусов.

Верхнее основание равно в√2 = (2/3)а√2.

Нижнее основание равно равно а√2.

Так как угол 60 градусов, то разница а√2 - (2/3)а√2 = (1/3)а√2 равна боковой стороне.

Боковая сторона равна 3/sin 60° = 3/(√3/2) = 6/√3 = 2√3.

Приравняем (1/3)а√2 = 2√3, отсюда а = 6√(3/2).

Сторона в = (2/3)а = (2/3)*6√(2/3) = 4√(3/2).

Проекция бокового ребра на нижнее основание равна

3/tg60° = 3/√3 = √3.

Спроецируем этот отрезок на сторону нижнего основания.

√3*cos45° = √3*(1/√2) = √(3/2).

Отсюда находим наклонную высоту боковой грани.

hн = √((2√3)² - (√(3/2)²) = √(12 - (3/2)) = √(21/2).

Находим площадь боковой поверхности пирамиды.

Периметры:

- верхнего основания Р1 = 4*4√(3/2) = 16√(3/2),

- нижнего основания Р2 = 4*6√(3/2) = 24√(3/2).

Тогда Sбок = (1/2)(Р1 + Р2)*hн = 20√(3/2)*√(21/2) = 30√7.

S1 = (4√(3/2))² = 24,

S1 = (6√(3/2))² = 54.

ответ: S = S1  + S2 + Sбок = 24 + 54 + 30√7 = 78 + 30√7.

Пусть сторона нижнего основания а, верхнего -в.

По заданию в  = (2/3)а.

Проведём диагональное сечение.

В сечении - равнобокая трапеция высотой 3 и углом при нижнем основании 60 градусов.

Верхнее основание равно в√2 = (2/3)а√2.

Нижнее основание равно равно а√2.

Так как угол 60 градусов, то разница а√2 - (2/3)а√2 = (1/3)а√2 равна боковой стороне.

Боковая сторона равна 3/sin 60° = 3/(√3/2) = 6/√3 = 2√3.

Приравняем (1/3)а√2 = 2√3, отсюда а = 6√(3/2).

Сторона в = (2/3)а = (2/3)*6√(2/3) = 4√(3/2).

Проекция бокового ребра на нижнее основание равна

3/tg60° = 3/√3 = √3.

Спроецируем этот отрезок на сторону нижнего основания.

√3*cos45° = √3*(1/√2) = √(3/2).

Отсюда находим наклонную высоту боковой грани.

hн = √((2√3)² - (√(3/2)²) = √(12 - (3/2)) = √(21/2).

Находим площадь боковой поверхности пирамиды.

Периметры:

- верхнего основания Р1 = 4*4√(3/2) = 16√(3/2),

- нижнего основания Р2 = 4*6√(3/2) = 24√(3/2).

Тогда Sбок = (1/2)(Р1 + Р2)*hн = 20√(3/2)*√(21/2) = 30√7.

S1 = (4√(3/2))² = 24,

S1 = (6√(3/2))² = 54.

ответ: S = S1  + S2 + Sбок = 24 + 54 + 30√7 = 78 + 30√7.