Из 21 билета по алгебре 12 содержат во по теме проценты. Четыре ученика по очереди берут билеты. Найти вероятность того, что хотя бы одному из них достанется во по теме проценты.

Для решения данной задачи нам потребуется знание о том, что вероятность события можно вычислить как отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов.

В данной задаче общее число возможных исходов можно выразить как количество способов выбрать 4 билета из 21. Для этого воспользуемся формулой комбинаторики "из n по k":
C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)

где n! - это факториал числа n. Факториал числа - это произведение всех натуральных чисел от 1 до данного числа.

C(21, 4) = 21! / (4!(21-4)!) = 21! / (4!17!) = (21 * 20 * 19 * 18 * 17!) / (4! * 17!) = (21 * 20 * 19 * 18) / (4 * 3 * 2 * 1) = 7315

Таким образом, общее число возможных исходов равно 7315.

Теперь посмотрим на благоприятные исходы, то есть исходы, при которых хотя бы одному из учеников достанется билет, содержащий вопрос по теме проценты.

Если первому ученику достался такой билет, то у нас осталось выбрать еще 3 билета из 20 (поскольку один билет уже занят). То есть, у нас остался 21-й билет (содержащий вопрос по процентам) и еще 20 билетов без такого вопроса.

Таким образом, число благоприятных исходов, когда первому ученику достался билет по процентам, можно вычислить как количество способов выбрать 3 билета из 20:

C(20, 3) = 20! / (3!(20-3)!) = 20! / (3!17!) = (20 * 19 * 18 * 17!) / (3 * 2 * 1 * 17!) = (20 * 19 * 18) / (3 * 2 * 1) = 1140

Теперь рассмотрим случай, когда первому ученику не достался билет по процентам, но достался второму ученику. В этом случае, у нас осталось выбрать 3 билета из 19. То есть, у нас осталось 21-й билет (содержащий вопрос по процентам), первый занятый билет и еще 19 билетов без такого вопроса.

Таким образом, число благоприятных исходов, когда первому ученику не достался билет по процентам, но достался второму ученику, можно вычислить как количество способов выбрать 3 билета из 19:

C(19, 3) = 19! / (3!(19-3)!) = 19! / (3!16!) = (19 * 18 * 17!) / (3 * 2 * 1 * 16!) = (19 * 18) / (3 * 2 * 1) = 114

Также рассмотрим случаи, когда билеты по процентам достаются третьему и четвертому ученикам. При этом, в обоих случаях у нас остается выбрать 3 билета из 20, как и в случае с первым учеником.

Итак, суммируя все благоприятные исходы, получаем:

1140 + 114 + 114 + 114 = 1482

Таким образом, число благоприятных исходов равно 1482.

Теперь мы можем вычислить вероятность того, что хотя бы одному из учеников достанется билет по процентам:

P = благоприятные исходы / общее число вариантов = 1482 / 7315 ≈ 0.2027

Итак, вероятность того, что хотя бы одному из учеников достанется билет по процентам, составляет примерно 0.2027 или около 20.27%.