Алёна, Боря, Вера и Полина собирали яблоки в саду. Кто-то из них собрал 11 яблок, другой — 17, третий — 19, четвёртый — 27. Известно, что

одна из девочек собрала 11 яблок;
Полина собрала яблок больше, чем Боря;
суммарное количество яблок, собранное Алёной и Полиной, делится на 3.
Кто сколько яблок собрал?

Для создания пары, сперва нажмите на одну из строк левого столбца, а затем на необходимую строку в правом. Каждой строке в левом столбце соответствует ровна одна строка в правом.

Ясно, что при n=2k система имеет решение a=3^k, b=0. Покажем, что других решений нет.

Пусть ни одно из чисел a и b не делится на 3. Покажем, что если число имеет остаток 1 или 2 при делении на 3, то квадрат этого числа имеет остаток 1 при делении на 3. Действительно, пусть a=3k+1, тогда a²=9k²+6k+1, если a=3k+2, то a²=9k²+18k+4, в обоих случаях остаток равен 1. Но сумма двух чисел с остатком 1 при делении на 3 не может нацело делиться на 3, получили противоречие.

Теперь рассмотрим случай, когда хотя бы одно из чисел a и b делится на 3. Если только одно число делится на 3, то сумма квадратов не будет делиться на 3, то есть, такой вариант невозможен. Остается случай, когда на 3 делятся оба числа. Пусть , где p и q - натуральные числа, не делящиеся на 3. Ясно, что x<n, y<n. Если x=y, то, разделив обе части на , получим уравнение . Поскольку числа p и q не делятся на 3, а величина n-x больше 0, это уравнение корней не имеет. Наконец, рассмотрим случай, когда x≠y, в силу симметрии можно считать, что x<y. Разделив уравнение на , имеем . Первое слагаемое не делится на 3, второе и третье делятся, получили противоречие.

Таким образом, уравнение имеет решение лишь при четных n. Следовательно, оно имеет 515 решений, меньших 1031.

А) P (периметр прямоугольника) = 30 см
допустим ширина "x" , тогда длина 4x, так как по условии одна сторона больше другой в 4 раза.
найдем "x"
30 = (4x+x)*2
10x = 30
x = 30/10
x = 3
значит нашли ширину 3 см, длина была в 4 раза больше, значит длина = 4*3 = 12 см
когда нам известно длина и ширина найдем площадь S:
S = 12*3 = 36 см²
ответ: S = 36 см²

б) P = 28 см
допусти ширина "x", длина на 2 см больше, значит 2+x
найдем стороны:
28 = (2+x+x)*2  
4+4x = 28
4x = 28-4
4x = 24
x = 24/4
x = 6
ширина 6 см, длина была на 2 см больше, значит 2+6 = 8 см
S = 8*6 = 48 см²