Поскольку 
, то треугольники MAN и BAC подобны. Значит MN параллелен BC ⇔ BMNC - трапеция. При этом BN и MC - диагонали. В трапеции отрезок, соединяющий середины оснований, продолжения боковых сторон и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой. Следовательно, AT - медиана треугольника ABC. Заметим, что отношение "расстояний" пройденных точками A и O равно искомому отношению диаметров окружностей, что равно отношению радиусов. Точка T зафиксирована. Спроецируем путь пройденный точкой O на вертикальную ось. Получим длину диаметра окружности. Данный диаметр пропорционален длине отрезка OT. Точка A пройдет весь путь окружности, проекция этого пути равна диаметру описанной окружности. Так как точка O лежит на отрезке AT, то пройденный путь пропорционален диаметру описанной окружности с тем же коэффициентом пропорциональности, что и отношение отрезка OT к соответствующему пути. Получили, что искомое отношение радиусов равно отношению 
. Пусть MB = x, AM = 3x; AN = 3y; NC = y; TC = BT; По теореме Менелая: 
, Значит 
; ответ: 7:1
1) 2х-х> 5-7 2)-0.5x+x< 4-1
3x-x< 8-2 -2.8x+1.3x> 6-9 (недописан x, но предположим что так)
x> -2 0.5x< 3
2x< 6 -1.5x> -3
x> -2 x< 6
x< 3 x< 2
3) к общему знаменателю, получим x+2x< 12
6-x> 0
x< 4
x< 6
4)2x-x-3> 2
-3x< 4-2x
x> 2+3
-3x+2x< 4
x> 5
x> -4
