с тестом.
А1-А4 выбрать ответ.
В1 начертить.
С1 - решить задачи.

Чтобы решить данную систему уравнений, мы воспользуемся методом подстановки.

1) Выразим одну из переменных через другую из любого уравнения:
Исходные уравнения: 4x^2 + xy = 20y и 4xy + y^2 = 5x.

Давайте выразим переменную y через x из первого уравнения:
4x^2 + xy = 20y
xy - 20y = -4x^2
y(x - 20) = -4x^2
y = -4x^2 / (x - 20)

2) Подставим полученное выражение для y во второе уравнение:
4xy + y^2 = 5x
4x(-4x^2 / (x - 20)) + (-4x^2 / (x - 20))^2 = 5x

3) Упростим выражение:
-16x^3 / (x - 20) + (16x^4) / (x - 20)^2 = 5x

4) Избавимся от знаменателя, умножив обе части уравнения на (x - 20)^2:
-16x^3(x - 20) + 16x^4 = 5x(x - 20)^2

5) Упростим уравнение:
-16x^4 + 320x^3 + 16x^4 = 5x(x^2 - 40x + 400)
320x^3 = 5x(x^2 - 40x + 400)
320x^3 = 5x^3 - 200x^2 + 2000x

6) Перенесем все слагаемые влево:
5x^3 - 320x^3 - 200x^2 + 2000x = 0

7) Факторизуем общий множитель:
x(5x^2 - 320x - 40x + 2000) = 0
x(5x(x - 64) - 40(x - 50)) = 0
x(x - 64)(5x - 40) = 0

Таким образом, получаем три возможных значения переменной x:
1) x = 0
2) x - 64 = 0 (откуда x = 64)
3) 5x - 40 = 0 (откуда x = 8)

8) Подставим полученные значения x обратно в исходное уравнение, чтобы найти соответствующие значения y:
a) При x = 0:
y = -4(0)^2 / (0 - 20)
y = 0
Итак, первая пара значений (x, y) равна (0, 0).

б) При x = 64:
y = -4(64)^2 / (64 - 20)
y = -4(4096) / 44
y = -4096 / 11
Итак, вторая пара значений (x, y) равна (64, -4096/11).

в) При x = 8:
y = -4(8)^2 / (8 - 20)
y = -256 / (-12)
y = 128 / 6
Итак, третья пара значений (x, y) равна (8, 128/6) или (8, 64/3).

Ответ: система уравнений имеет три решения:
(0, 0), (64, -4096/11) и (8, 128/6) или (8, 64/3).

Дано уравнение: sin^2x + 16cos^2x = 4.

Для начала рассмотрим тождество тригонометрии: sin^2x + cos^2x = 1. Можно заметить, что уравнение в задаче похоже на это тождество, за исключением дополнительного множителя 16 перед cos^2x. Чтобы избавиться от него, разделим всё уравнение на 16:

(sin^2x + cos^2x)/16 + cos^2x/16 = 4/16.

Упрощая это выражение, получим:

1/16 + cos^2x/16 = 1/4.

Теперь перенесём все слагаемые влево:

1/16 + cos^2x/16 - 1/4 = 0,

1/16 + cos^2x/16 - 4/16 = 0,

(1 + cos^2x - 4)/16 = 0,

(cos^2x - 3)/16 = 0.

Теперь домножим уравнение на 16 ):

cos^2x - 3 = 0.

Теперь добавим 3 к обоим сторонам:

cos^2x = 3.

Возьмём квадратный корень от обеих сторон:

cosx = ± √3.

Теперь рассмотрим интервал [π/4 ; 3π/2] и найдем все значения x, для которых cosx принадлежит этому интервалу.

В данном интервале cosx положителен, поэтому отрицательное значение √3 не подходит. Значит, остаётся только положительное значение:

cosx = √3.

Для нахождения всех корней уравнения, вспомним основные значения тригонометрических функций.

Угол, для которого cosx = √3, находится в первой четверти. В первой четверти cosx положителен. Таким образом, наше значение cosx = √3 можно представить в виде cosx = cos(π/6).

Теперь, чтобы найти все значения x, для которых cosx = √3, используем следующую формулу:

x = 2πn ± π/6,

где n - целое число.

Подставляя n = 0, получим первое решение:

x = 2π(0) ± π/6 = π/6.

Подставляя n = 1, получим второе решение:

x = 2π(1) ± π/6 = 13π/6.

Таким образом, все корни уравнения sin^2x + 16cos^2x = 4, принадлежащие отрезку [π/4 ; 3π/2], равны π/6 и 13π/6.

Последнее, что осталось сделать, - это подтвердить, что найденные значения действительно являются корнями уравнения.

Подставим первое значение, x = π/6:

sin^2(π/6) + 16cos^2(π/6) = 4,

(1/2)^2 + 16(√3/2)^2 = 4,

1/4 + 16(3/4) = 4,

1/4 + 48/4 = 4,

49/4 = 4,

4 = 4 (верно).

Теперь подставим второе значение, x = 13π/6:

sin^2(13π/6) + 16cos^2(13π/6) = 4,

(1/2)^2 + 16(-√3/2)^2 = 4,

1/4 + 16(3/4) = 4,

1/4 + 48/4 = 4,

49/4 = 4,

4 = 4 (верно).

Таким образом, корни уравнения sin^2x + 16cos^2x = 4, принадлежащие отрезку [π/4 ; 3π/2], равны π/6 и 13π/6.