Плз тупик
Найти общее решение однородного дифференциального уравнения
первого порядка:
2xyy' = y ² - 4x ²

Для решения данного дифференциального уравнения сначала введем новую переменную, которая будет выражать отношение y к x:

u = y/x

Далее найдем производную отношения y к x:

y' = u'x + u

Теперь подставим полученные значения в исходное уравнение:

2xyy' = y² - 4x²

2x(u'x + u) = (u*x)² - 4x²

2u'x² + 2ux = u²x² - 4x²

2u'x² - u²x² + 2ux + 4x² = 0

Объединим члены с одинаковыми степенями:

(2u' - u²)x² + (2u + 4)x = 0

Теперь проведем следующий шаг. Поскольку это однородное дифференциальное уравнение, мы можем предположить, что x не равно нулю, и разделить обе стороны уравнения на x²:

(2u' - u²) + (2u + 4)/x = 0

Полученное уравнение можно представить в виде двух отдельных уравнений:

2u' - u² = 0 (уравнение 1)
2u + 4 = 0 (уравнение 2)

Теперь решим эти уравнения по отдельности.

Уравнение 2:

2u + 4 = 0

2u = -4

u = -2

Перейдем теперь к уравнению 1:

2u' - u² = 0

Разделим обе части уравнения на u²:

2u' / u² - 1 = 0

Теперь заменим u' / u² на дифференциал от u:

d(u^-1)/dx = 0

Интегрируем обе стороны уравнения по переменной x:

∫d(u^-1)/dx dx = ∫0 dx

∫(d(u^-1)/dx) dx = x + C

Теперь выполняем интегрирование:

u^-1 = x + C

Вспомнив значение u (y/x), получим:

(y/x)^-1 = x + C

1/(y/x) = x + C

x/y = x + C

Теперь решим полученное уравнение относительно y:

1 = xy + Cy

xy + Cy - 1 = 0

Данное уравнение является общим решением исходного дифференциального уравнения.