Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (схематично изобразив графики функций). 1) y = 6 + x – x2 и y = 6 – 2x; 2) y = 2x2 и y = x + 1 ; 3) y = 1 – x и y = 3 – 2x – x2 ; 4) y = x2 и y = X . ответ : 1) 4,5 ; 2) 9/8 ; 3) 4,5 ; 4) 1/3
Добрый день! Давайте разберем по очереди каждую задачу и найдем площадь фигуры, ограниченной заданными функциями.
1) Найдем точку пересечения двух функций y = 6 + x – x^2 и y = 6 – 2x. Для этого приравняем эти две функции между собой и решим полученное уравнение:
6 + x – x^2 = 6 – 2x
Перенесем все члены уравнения в одну часть:
x^2 + 3x - 2x = 0
x^2 + x = 0
x(x + 1) = 0
Таким образом, получаем два решения: x = 0 и x = -1.
Теперь построим графики этих функций, чтобы определить, какая из них является верхней и нижней.
График функции y = 6 + x – x^2 представляет собой параболу, направленную вниз. Построим ее.
Для этого запишем уравнение в виде y = -(x^2 - x - 6):
y = -(x + 2)(x - 3)
Таким образом, функция y = 6 + x – x^2 пересекает ось ординат в точке (0, 6). График проходит выше оси ординат, так как его вершина находится выше нулевого значения y.
Теперь построим график функции y = 6 – 2x:
y = 6 – 2x представляет собой прямую с отрицательным коэффициентом при x. Построим ее.
Таким образом, функция y = 6 - 2x пересекает ось ординат в точке (0, 6) и имеет отрицательный наклон.
Из графиков видно, что границы фигуры находятся в точках пересечения графиков этих двух функций, то есть при x = 0 и x = -1.
Теперь найдем значения y для каждой из функций в этих точках:
Для y = 6 + x – x^2 при x = 0:
y = 6 + 0 - 0^2 = 6
Для y = 6 - 2x при x = 0:
y = 6 - 2*0 = 6
Для y = 6 + x – x^2 при x = -1:
y = 6 + (-1) - (-1)^2 = 6 - 1 - 1 = 4
Для y = 6 - 2x при x = -1:
y = 6 - 2*(-1) = 6 + 2 = 8
Итак, у нас есть четыре точки: (0, 6), (0, 6), (-1, 4) и (-1, 8).
Теперь нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной этими точками.
Находим длину оси абсцисс между точками x = 0 и x = -1:
x1 - x2 = 0 - (-1) = 1
Площадь под фигурой равна основанию, умноженному на высоту:
Площадь = (x1 - x2) * (y1 - y2)
Применяем эти значения:
Площадь = (1) * (8 - 4)
Получаем: Площадь = 1 * 4 = 4
Ответ для первой задачи: 4.
2) Найдем точку пересечения двух функций y = 2x^2 и y = x + 1. Для этого приравняем их между собой:
2x^2 = x + 1
Приравняем уравнение к нулю:
2x^2 - x - 1 = 0
Данное уравнение является квадратным уравнением. Осуществим решение с помощью формулы дискриминанта:
D = b^2 - 4ac
D = (-1)^2 - 4*2*(-1)
D = 1 + 8
D = 9
Как мы видим, дискриминант D = 9 является положительным числом, что значит, что уравнение имеет два корня:
