На доске выписаны числа 1,2,3,4,…,98,99,100. Трудолюбивый Альба посчитал суммы каждых двух различных из этих чисел. Сколько разных значений сумм у него получилось?

Члены арифметической прогрессии обозначим An, геометрической Bn. 
Тогда имеем:
13A1+78d=130(из формулы суммы первых членов арифметической прогрессии Sn=((2A1+d(n-1))/2)*n), что равносильно
A1+6d=10

A4=A1+3d=B1 
A10=A1+9d=B1*q
A7=A1+6d=B1*q^2

B1*q^2=10
B1+3d=10
B1+6d=B1*q

B1=10/q^2(Выражаем B1 из первого уравнения)
B1=10-3d(Выражаем B1 из второго уравнения)
3d=10-B1(теперь 3d из второго)
3d=10-10/q^2(подставляем сюда значение B1 из первого)
10+3d=10/q(подставляем вместо B1 соответственно 10-3d и 10/q^2)
10+10-10/q^2=10/q
20-10/q^2-10/q=0
20q^2-10q-10=0
2q^2-q-1=0
D=1+8=9
q1=(1-3)/4=-1/2
q2=(1+3)/4=1
Зная q, можно найти все остальное:
B1*q^2=10
B1=10/q^2
3d=10-B1
Для q=-1/2 B1=40, 3d=10-40=-30, d=-10
Для q=1 B1=10, 3d=10-B1=0, d=0.
Так как нам известно что первый член арифметической прогрессии не равен второму, то корень q=1 не подходит (так как d=0). Значит, d=-10.
Найдем A1.
A1+3d=B1
A1-30=40
A1=70.
ответ: A1=70.

  смотрел в иллюминатор
    обедал
        отдыхал
                 читал книгу

всего : 1+2+4+8=15 частей

с 12.00 до 14. 00  затраченное на всё время
14 - 12 = 2 часа затратил на всё
2 часа = 2 * 60 = 120 минут
120 : 15 = 8 минут смотрел в иллюминатор (одна часть)
8 * 2 = 16 минут обедал
16 * 2 = 32 минуты отдыхал
32 * 2 = 64 минуты читал

12 часов + 8 минут + 16 минут = 12 часов 24 минуты было, когда Ваня пообедал.

проверка:
12 часов + 8 минут = 12 ч 8 мин - начал обедать
12 ч 8 мин + 16 мин = 12 ч 24 минуты начал отдыхать
12 ч 24 мин + 32 мин = 12 ч 56 мин начал читать
12 ч 56 мин + 64 мин = 12 ч + 56 мин + 64 мин = 12 ч + 120 мин =
=12 ч + 2 ч = 14 часов закончил читать

ответ: 12 часов 24 минуты было, когда Ваня пообедал.