решить, заранее Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

А) y = 2x³ + 6x² – 1

Б) х+2/х^3

2) Найдите точки экстремума функции:

А) y = x³ + 6x² –15x – 3

Б) y = х/4 + 4/х

3) Постройте эскиз графика функции на f(x) отрезке -2;5 , если: f (–2)=3, f( 5)=1, f(2)= –5,

f (–1)= –1, f ´(–1)=0, f ´(2)=0, f ´(x)>0 при 2

4) Построить график функции: y = х^4 – 8x²+2

Добрый день! Давайте решим поставленные вопросы по порядку.

1) Найдем промежутки возрастания и убывания функции.

А) Функция y = 2x³ + 6x² - 1 является многочленом третьей степени. Чтобы найти промежутки возрастания и убывания, нужно найти производную и найти ее корни.

y' = 6x² + 12x. Уравнение для нахождения корней производной будет 6x² + 12x = 0.

Факторизуем это уравнение: 6x(x + 2) = 0.

Из этого уравнения следует, что x = 0 и x = -2 являются корнями производной.

Теперь построим вторую производную:

y'' = 12x + 12.

Теперь мы можем проверить промежутки возрастания и убывания функции, используя вторую производную. Для этого нужно анализировать знаки второй производной в каждой области между корнями производной.

1. От -∞ до -2: Подставим x = -3 во вторую производную: y'' = 12(-3) + 12 = -24 < 0. Знак отрицательный, значит, функция убывает на этом промежутке.
2. От -2 до 0: Подставим x = -1 во вторую производную: y'' = 12(-1) + 12 = 0. Знак нулевой, значит, не можем сказать ничего о промежутке.
3. От 0 до +∞: Подставим x = 1 во вторую производную: y'' = 12(1) + 12 = 24 > 0. Знак положительный, значит, функция возрастает на этом промежутке.

Таким образом, функция y = 2x³ + 6x² - 1 возрастает на промежутке от 0 до +∞ и убывает на промежутке от -∞ до -2.

Б) Функция y = (x+2)/x³ является рациональной функцией. Чтобы найти промежутки возрастания и убывания, нужно найти производную и найти ее корни.

Сначала найдем производную функции: y' = (-2x² + x - 2)/x⁴.

Упростим эту формулу: y' = (-2x² + x - 2)/x⁴ = -2/x² + 1/x³ - 2/x⁴.

Найдем области, где производная равна нулю или не существует.

Для значения производной равной нулю:

-2/x² + 1/x³ - 2/x⁴ = 0.

Переносим все слагаемые на одну сторону: -2/x² + 1/x³ - 2/x⁴ = 0.

Общий знаменатель будет x⁴.

-2x² + x - 2 = 0.

Решим это уравнение:

2x² - x + 2 = 0.

Корни этого уравнения:

D = b² - 4ac = 1² - 4*2*2 = 1 - 16 = -15.

Так как дискриминант отрицателен, то уравнение не имеет вещественных корней, и производная не имеет нулевых значений.

Теперь найдем области, где производная не существует.

Производная не существует в точках, где знаменатель равен 0, то есть при x = 0.

Таким образом, можно сделать вывод, что функция y = (x+2)/x³ не имеет точек экстремума, а значит, не имеет и промежутков возрастания или убывания.

2) Найдем точки экстремума функции.

А) Функция y = x³ + 6x² - 15x - 3 является многочленом третьей степени. Чтобы найти точки экстремума, нужно найти производную и найти ее корни.

y' = 3x² +12x - 15. Уравнение для нахождения корней производной будет 3x² + 12x - 15 = 0.

Мы можем упростить это уравнение, разделив все слагаемые на 3:

x² + 4x - 5 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение:

(x + 5)(x - 1) = 0.

Таким образом, у нас есть два корня: x = -5 и x = 1.

Теперь построим вторую производную:

y'' = 6x + 12.

Чтобы найти точки экстремума, нужно найти значения x, для которых вторая производная равна 0.

6x + 12 = 0.

6x = -12.

x = -2.

Таким образом, у нас есть одна точка экстремума x = -2.

Теперь можем найти значение функции в точке x = -2:

y = (-2)³ + 6(-2)² - 15(-2) - 3 = -20.

Таким образом, точка экстремума равна (-2, -20).

Б) Функция y = x/4 + 4/x является рациональной функцией. Чтобы найти точки экстремума, нужно найти производную и найти ее корни.

Сначала найдем производную функции: y' = 1/4 - 4/x².

Уравнение для нахождения корней производной будет следующим:

1/4 - 4/x² = 0.

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

1/4 = 4/x².

Возведем в квадрат обе части уравнения:

1/16 = 4/x².

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

1/16 - 4/x² = 0.

Общий знаменатель будет 16x²:

1 - 64/x² = 0.

Умножим обе части уравнения на x²:

x² - 64 = 0.

(x + 8)(x - 8) = 0.

Корни этого уравнения:

x = -8 и x = 8.

Теперь построим вторую производную:

y'' = 8/x³.

Чтобы найти точки экстремума, нужно найти значения x, для которых вторая производная равна 0.

8/x³ = 0.

Следовательно, производная не имеет точек экстремума.

3) Построим эскиз графика функции f(x) на интервале [-2, 5].

Отрезок [-2, 5] содержит все точки, которые нам написали:

f(–2) = 3,
f(5) = 1,
f(2) = –5,
f(–1) = –1.

Также нам дано, что первая производная f'(-1) = 0 и f'(2) = 0, а f'(x) > 0 при x > 2.

Из этой информации, мы можем сделать следующие выводы о графике функции:

- В точках (-2, 3) и (5, 1) график будет проходить через данные точки.
- График будет проходить через точку (2, -5).
- График будет иметь касательную горизонтальную линию в точке (-1, -1), так как f'(-1) = 0.
- График будет иметь касательную горизонтальную линию в точке (2, -5), так как f'(2) = 0.
- График будет возрастать при x > 2, так как f'(x) > 0 при x > 2.

С учетом всех этих данных, можно начертить эскиз графика функции f(x) на интервале [-2, 5].

4) Нарисуем график функции y = x⁴ - 8x² + 2.

Для построения графика функции y = x⁴ - 8x² + 2 можно воспользоваться методом дополнения квадрата.

Выразим функцию y в виде полного квадрата:

y = (x²)² - 8x² + 2.

Теперь добавим и вычтем половину квадрата коэффициента при x:

y = (x²)² - 8x² + 4 - 4 + 2.

Заметим, что первые три слагаемых можно записать в виде:

y = (x² - 4)² - 4 + 2.

Применим функцию y = (x - a)² - b, чтобы построить график:

- a - координата вершины графика по оси x, в данном случае a = 0.
- b - смещение по оси y от вершины графика, в данном случае b = -4 + 2 = -2.

Точка вершины графика будет равна (0, -2).

Теперь можем построить график функции, зная, что у нас есть вершина (0, -2):

- График будет симметричен относительно оси y.
- График будет касаться оси x при x = 0.
- График будет сжиматься по оси x на интервале от -∞ до 0 и растягиваться на интервале от 0 до +∞.

Таким образом, приблизительный эскиз графика функции y = x⁴ - 8x² + 2 будет выглядеть так:

|
-|-
|
|
|
-2 ------(0, -2)----- 2 ----->

Надеюсь, что данное пояснение и пошаговое решение помогли вам понять данные функции и решить задачи. Если у вас есть еще вопросы по этой или другим математическим задачам, обязательно задавайте!