Приведем примерный алгоритм получения необходимых данных.
1.Нахождение области определения функции
Определение интервалов, на которых функция существует.
!!! Очень подробно об области определения функций и примеры нахождения области определения тут.
2.Нули функции
Для вычисления нулей функции, необходимо приравнять заданную функцию к нулю и решить полученное уравнение. На графике это точки пересечения с осью ОХ.
3.Четность, нечетность функции
Функция четная, если y(-x) = y(x). Функция нечетная, если y(-x) = -y(x). Если функция четная – график функции симметричен относительно оси ординат (OY). Если функция нечетная – график функции симметричен относительно начала координат.
4.Промежутки знакопостоянства
Расстановка знаков на каждом из интервалов области определения. Функция положительна на интервале - график расположен выше оси абсцисс. Функция отрицательна - график ниже оси абсцисс.
5. Промежутки возрастания и убывания функции.
Для определения вычисляем первую производную, приравниваем ее к нулю. Полученные нули и точки области определения выносим на числовую прямую. Для каждого интервала определяем знак производной. Производная положительна - график функции возрастает, отрицательна - убывает.
6. Выпуклость, вогнутость.
Вычисляем вторую производную. Находим значения, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Вторая производная положительна - график функции выпукл вверх. Отрицательна - график функции выпукл вниз.
7. Наклонные асимптоты.
Пример исследования функции и построения графика №1
Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.
1. 7(х+8)-25=66
7×х+7×8-25=66
7х+56-25=66
7х=66-56+25
7х=35
х=35÷7
х=5
ответ: х=5
2. 9(5х+13)=252
9÷5х+9×13=252
45х+117=252
45х=252-117
45х=125
х=125÷45
х=2 7/9 (в дробях)
ответ: 2 7/9 (в дрообях)
3. 15(13х-7)=285
15×13х-15×7=285
195х-105=285
195х=285+105
195х=390
х=390÷195
х=2,6
ответ: х=2,6
4. (у+46)÷3=18
3×у+3×46=18
3у+138=18
3у=18-138
3у=-120
у=-120÷3
у=-40
ответ: у=-40
5. (2х+39)÷5=13
5×2х+5×39=13
10х+195=13
10х=13-195
10х=-192
х=-192÷10
х=-19,2
ответ: х=-19,2
6. 182÷(х-15)=14
182×х-182×15=14
182х-2730=14
182х=14+2730
182х=2744
х=2744÷182
х= 15 1/13 (в дробях)
ответ: 15 1/13 (в дробях).
