Исследовать функцию -- значит определить её область определния, множество значений; чётность/нечётность; нули, области знакопостоянства, критические точки, области возрастания и убывания, выпуклости и вогнутости, возможные асимптоты, оси и центры симметрии и построить график.
Обозначим f(x)=(8x^3+1)/x = 8x^2 + 1/x
1. Область определения: x не равно 0
2. Область значений: y -- любое (см. п. 11).
3. Функция не является ни чётной, ни нечётной (первое слагаемое в сумме 8x^2 + 1/x чётное, второе -- нечётное) .
4. Точки пересечения с осями координат, в т. ч. нули. x=0 => f(x) не определена f(x)=0 => x=-1/2
5. Области знакопостоянства Функция может менять знак при переходе через нули или критические точки Нуль (простой): x=-1/2; критическая точка x=0 Двигаемся справа налево по числовой оси: при x>0 y>0 при -1/2<x<0>0
6. Критические точки, точки экстремума, области возрастания и убывания. f(x) -- гладкая функция на всей числовой оси, за исключением критической точки x=0
f'(x) = 16x-1/x^2 = (16x^3-1)/x^2 f'(x)=0 => x=1/(2^(4/3)) Двигаемся по оси х справа налево: x>1/(2^(4/3)) => f'(x)>0 => f(x) строго монотонно возрастает 0<x<1/(2^(4/3))> f'(x)<0 => f(x) строго монотонно убывает x<0 => f'(x)<0 => f(x) строго монотонно убывает (при переходе через 0 знак f'(x) не изменяется) .
При переходе через x=1/(2^(4/3)) f'(x) меняет знак с "-" на "+" => имеем локальный минимум y=3*2^(1/3)
7. Области выпуклости и вогнутости; точки перегиба.
f''(x) = 16 + 2/x^3 = 2 (8x^3+1)/x^3 f''(x)=0 => x=-1/2 f''(x)=2f(x)/x^2) => области знакопостоянства f''(x) и f(x) совпадаютж см. п. 5 при x>0 f''(x)>0 => f(x) выпукла вниз при -1/2<x<0> f(x) выпукла вверх при x<-1/2 f''(x)>0 => f(x) выпукла вниз
x=-1/2 -- точка перегиба; y=0
8. Возможные асимптоты. Вертикальная: ось y (x=0). При x, стремящемся к 0 сверху/снизу, f(x) стремится соответственно к плюс/минус бесконечности. Горизонтальных нет, т. к. при x, стремящемся к плюс/минус бесконечности, не существует конечного предела f(x). Наклонных нет, т. к. при x, стремящемся к плюс/минус бесконечности, не существует конечного предела f(x)/x
При x, стремящемся к плюс/минус бесконечности, график f(x) приближается к параболе y=8x^2 соответственно сверху/снизу
9. Симметричность графика. Осей и центров симметрии нет.
10. Собственно график (см. рис) .
11. количество решений уравнения f(x)=y в зависимости от y. Из графика видно, что решения существуют при дюбом y' y>3*2^(1/3) => три решения (x1<-1/2^(1/3)); 0<x2<1/(2^(4/3));>1/(2^(4/3)) y=3*2^(1/3) => два решения (x1=-1/2^(1/3)); x2=1/(2^(4/3)) -- двойной корень (для получения x1 нужно решить прстое уравнение) y<3*2^(1/3) => одно решение -1/2^(1/3))<x<0>
Киев. Семейство Мерцаловых уже более года ютится в сыром подвале старого дома. Самый младший ребёнок голоден и кричит в своей колыбели. У девочки постарше высокая температура, но на лекарство денег нет. В предновогодний вечер Мерцалова посылает двух старших сыновей к человеку, у которого её муж работал управляющим. Женщина надеется, что он им, но детей выгоняют, не дав ни гроша. В этот ужасный роковой год несчастье за несчастьем настойчиво и безжалостно сыпались на Мерцалова и его семью. Мерцалов заболел тифом. Пока он поправлялся, его место управляющего занял другой человек. Все сбережения семьи ушли на лекарства, и Мерцаловым пришлось переселиться в сырой подвал. Начали болеть дети. Одна девочка умерла три месяца назад, а теперь заболела Машутка. В поисках денег на лекарства Мерцалов оббегал весь город, унижался, выпрашивал, но не достал ни копейки. Узнав, что у детей тоже ничего не вышло, Мерцалов уходит. Им овладело неудержимое желание бежать куда попало, бежать без оглядки, чтобы только не видеть молчаливого отчаяния голодной семьи. Мерцалов бесцельно бродит по городу и сворачивает в общественный сад. Здесь царит глубокая тишина. Мерцалову хочется покоя, в голову приходит мысль о самоубийстве. Он почти решается, но тут рядом с ним садится невысокий старик в меховом пальто. Он заговаривает с Мерцаловым о новогодних подарках, и того охватывает «прилив отчаянной злобы». Старик, однако, не обижается, а просит Мерцалова рассказать всё по порядку. Минут через десять старик, оказавшийся доктором, уже входит в подвал Мерцаловых. Сразу появляются деньги на дрова и еду. Старик выписывает бесплатный рецепт и уходит, оставив на столе несколько крупных купюр. Фамилию чудесного доктора — профессор Пирогов — Мерцаловы находят на ярлыке, прикреплённом к пузырьку с лекарством. С тех пор «точно благодетельный ангел снизошёл» в семью Мерцаловых. Глава семьи находит работу, а дети выздоравливают. С Пироговым же судьба их сводит только один раз — на его похоронах. Эту историю рассказчик узнаёт от одного из братьев Мерцаловых, который стал крупным сотрудником банка.
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
