1. Чи симетричні точки К(2; -3; 7) і М(-2; 3; 7) відносно площини хОz?

2. На осі Ох знайдіть точку рівновіддалену від точок А(1;2;2) і В(-2;1;4).

3. Яка з наведених точок симетрична точці A(-6;-4; 2) відносно початку координат?

4. Дано точки А(0; 3; -4), В(-4; 2; -3), К(2; 1; -1), Р(3; 0; -1). Знайти кут ( в градусах) між векторами АВ і КР.

5. Дано вектор а ⃗ (5;6;3). Знайдіть а ⃗ ∙ а ⃗.

6. Чи перпендикулярні вектори а ⃗(2;3;6) і b ⃗( 3; 2; -1)?

7. У трикутнику АВС А( 2; 1; 3), В( 2; 1; 5 ), С( 0; 1; 1). Знайдіть довжину медіани АМ.

8. Дано вектори а ⃗(2;-1;4) і b ⃗( 5; 3; х). При якому значенні х а ⃗ ∙ b ⃗ = 19?

9. Чи колінеарні вектори m ⃗(8;3; -2) і n ⃗(16; 6; -4)?

10. Знайдіть відстань від точки А(2;1;4) до початку координат.

11. Дано вектори а ⃗(4; -2; -4 )та b ⃗(6; -3; 2). Обчисліть |2а ⃗--- b ⃗ |.

12. Знайти координати вектора (ВА ) ⃗, якщо А(0; 1; -1) і В (1; -1; 0).

РЕШЕНИЕ
1. Интервалы монотонности - по первой производной.
а) y = x³ + 1/4*x⁴
Y'(x) = 3*x² + x³ = x²*(3+x) = 0 - находим корни производной.
х₁=х₂ = 0, х₃ = - 3.
Убывает - X∈(-∞;-3];
Возрастает -X∈[-3;0]∪[0;+∞) или Х∈[-3;+∞) - ОТВЕТ
б) y = 3*x² - 9x+5
Первая производная
Y'(x) = 6*x-9 = 6*(x - 3/2)= 0 при Х = 3/2 = 1,5
Убывает - Х∈(-∞;1,5]   Возрастает - Х∈[1.5;+∞) - ОТВЕТ
2. ДАНО
y = x² + 2x+1,   x0= 1
Уравнение касательное по формуле
F= y'(x0)*(x - x0) + y(x0)
Находим значение производно при Х0.
y'(x) = 2x+ 2,
y'(1) = 2*1+2 = 4
Находим значение функции при Х0.
y(1) = 1+2+1 = 4
Пишем уравнение касательной.
F = 2*(x - 1) + 4 = 2*x + 2 - ОТВЕТ
3. Исследование функции - это уже другая задача. 

24м

Пошаговое объяснение:

1) Пусть длина забора =  х(м)

2) Известно, что 3/4 длины забора  Андрей красил в 3 раза быстрее, чем красил 1/4 часть.

Обозначим скорость, с которой Андрей красил 1/4 часть забора как V.

Тогда скорость  покраски 3/4 длины = 3V.

Найдем время t, за которое Андрей покрасил весь забор:

t = х*3/4 : 3V + х*1/4 :V = х/4V + x/4V = 2x/4V =x/2V   →    t = x/2V

3) Определим время t₁, за которое Андрей покрасил 14 м.

Для начала установим, с какой скоростью красил Андрей 14м.

Т.к., по условию,   x <  28м, то

                       х*3/4  < 28*3/4

                       x*3/4 < 7*3

                       х*3/4 < 21 (м) , Андрей проехал 14м < 21м, значит, он красил с той же скоростью, что и 3/4 длины, т.е, со скоростью 3V.

 Тогда  t₁ = 14 /3V

3) Найдем время t₂, за которое Андрей покрасил (х -14) м забора:

t₂ = t - t₁ = (x/2v) -  14/3v

t₂ = (3x -28)/6V

Но время, за которое Андрей покрасил (х-14)м,  - это  время, затраченное Борисом на покраску (х - 2) м забора.

4) Определим это время:

t₂ = (x - 2) /3V

Приравняем правые части уравнений:

(3x -28)/6V = (x - 2) /3V

(3x -28)/6V = (2х - 4) /6V

3x - 28 = 2x - 4

x = 28-4

x = 24 (м)

ответ: Длина забора 24м