Добрый день! Рассмотрим заданную функцию y=(x-4)^2(x+5)+8 и найдем точку максимума.
Шаг 1: Найдем первую производную функции y по переменной x.
Для этого применим правило дифференцирования произведения:
Пусть u(x) и v(x) - две функции, дифференцируемые на некотором интервале. Тогда производная произведения функций (u(x) * v(x)) равна:
(u(x) * v(x))' = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x).
Применим это правило к заданной функции:
y'(x) = (x-4)^2 * (x+5)' + (x-4) * (x+5)^2'.
Здесь (x+5)' = 1, так как производная константы равна нулю.
Также (x+5)^2' = 2(x+5), так как мы применяем правило дифференцирования степенной функции.
Разделим все слагаемые на 3, чтобы упростить выражение:
x^2 + 2x - 12 = 0.
Шаг 3: Решим полученное квадратное уравнение для определения критических точек. Можно воспользоваться формулой дискриминанта или попытаться разложить его на множители. В данном случае лучше воспользоваться разложением:
Таким образом, получаем два значения переменной x: x = -6 и x = 2.
Шаг 4: Найдем соответствующие значения функции y для найденных критических точек, подставив их в исходное уравнение:
y = (x-4)^2(x+5) + 8.
Для x = -6:
y = (-6-4)^2(-6+5) + 8 = (-10)^2 * (-1) + 8 = 100 * (-1) + 8 = -100 + 8 = -92.
Для x = 2:
y = (2-4)^2(2+5) + 8 = (-2)^2 * 7 + 8 = 4 * 7 + 8 = 28 + 8 = 36.
Шаг 5: Сравним полученные значения y и определим, у какой из критических точек функция достигает максимума. Максимум функции достигается в той точке, где значение функции наибольшее.
Исходя из наших расчетов, получаем, что y = -92 при x = -6 и y = 36 при x = 2. Таким образом, точка максимума функции y=(x-4)^2(x+5)+8 находится при x = 2, y = 36.
