Куб натурального числа n можно представить в виде n слагаемых, образующих арифметическую прогрессию с разностью 2.
Доказательство:
Если n — число нечётное:
Пусть средний член равен n². Тогда сумма членов этой прогрессии равна n² + n² - 2 + n² + 2 + ... = n² + n² + n² + ... (n раз) = n² * n = n³.
Если n — число чётное:
Пусть средние члены (по счёту n/2 и n/2 + 1) равны n²-1 и n²+1. Сумма членов прогрессии равна: n² - 1 + n² + 1 + n² - 3 + n² + 3 + ... = n² + n² + n² + ... (n раз) = n² * n = n³.
Во всех возможных случаях мы смогли представить куб натурального числа в виде n слагаемых, что и требовалось доказать.
1. В обыкновенных дробях.
а = 6 1/4 см - длина
b = 6 1/4 - 4 9/20 = 6 5/20 - 4 9/20 = 5 25/20 - 4 9/20 = 1 16/20 = 1 4/5 см - ширина
с = 1 4/5 + 3/5 = 1 7/5 = 2 2/5 см - высота
V = abc = 6 1/4 · 1 4/5 · 2 2/5 = 25/4 · 9/5 · 12/5 = (1·9·3)/(1·1·1) = 27 см³ - объём прямоугольного параллелепипеда.
2. В десятичных дробях.
а = 6 1/4 = 6,25 см - длина
b = 6,25 - 4 9/20 = 6,25 - 4,45 = 1,8 см - ширина
с = 1,8 + 3/5 = 1,8 + 0,6 = 2,4 см - высота
V = abc = 6,25 · 1,8 · 2,4 = 27 см³ - объём прямоугольного параллелепипеда
Вiдповiдь: 27 см³.
