Покажем, что у начинающего игрока существует выигрышная стратегия. На первом ходу он должен взять из кучи 10 камешков. В куче остаётся 2012 - 10 = 2002 камешков. Далее, на всех последующих ходах сколько бы камешков ни взял второй игрок, первый игрок дополняет их количество до 11. То есть, к примеру, второй игрок взял 1 камешек, первый игрок берёт 10 или же если второй взял 5 камешков, первый должен взять 6. Тогда, так как 2002 = 11*182, после 181-го хода в куче остаются 11 камешков и как бы ни сыграл второй игрок, на 182-м ходу начинающий игрок побеждает.
ответ: Выигрышная стратегия имеется у начинающего игрока.
40 | 2 70 | 2 30 | 2
20 | 2 35 | 5 15 | 3
10 | 2 7 | 7 5 | 5
5 | 5 1 1
1 70 = 2 · 5 · 7 30 = 2 · 3 · 5
40 = 2³ · 5
НОК = 2³ · 3 · 5 · 7 = 840 - наименьшее общее кратное
840 : 40 = 21 - доп. множ. к 7/40 = 147/840
840 : 70 = 12 - доп. множ. к 11/70 = 132/840
840 : 30 = 28 - доп. множ. к 13/30 = 364/840
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7/40 + 11/70 + 13/30 = 147/840 + 132/840 + 364/840 = 643/840
ответ: 643/840.
