6 и 84
Пошаговое объяснение:
Задание
В какой паре чисел первое число является делителем второго?
Решение
1) Число без остатка делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3. Так как сумма цифра 2+3 = 5, а 5 на 3 без остатка не делится, то это значит, что пара чисел 3 и 23 не подходит.
2) Число без остатка делится на 5, если оно заканчивается на 0 или на 5. Так как число 42 заканчивается цифрой 2, то оно на 5 без остатка не делится. Значит, пара чисел 5 и 42 тоже не подходит.
3) Число без остатка делится на 6, если оно делится без остатка и на 2, и на 3. Число 84 - чётное, значит оно без остатка делится на 2. Сумма цифр числа 84 равна 8+4 = 12; 12 делится без остатка на 3. Значит, число 84 делится и на 2, и на 3, а, значит оно без остатка делится на 6. Действительно: 84 : 6 = 14
Значит, пара чисел 6 и 84 подходит.
4) Число без остатка делится на 7, если утроенное число его десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7.
В числе 111 количество десятков равно 11, количество единиц равно 1.
Следовательно: 11 · 3 + 1 = 33 + 1 = 34, а 34 без остатка на 7 не делится.
Значит, пара числе 7 и 111 не подходит.
ответ: первое число является делителем второго числа в паре чисел 6 и 84.
Решить систему уравнений х²+у=7 и х+у²=11 в целых числах.
Из уравнения х²+у=7 можно выразить у: у=7-х².
Из уравнения х+у²=11 можно выразить у²: у²=11-х.
Получается уравнение (7-х²)²=11-х. Решим его:
(7-х²)²=11-х,
49-14х²+х⁴=11-х,
х⁴-14х²+х+38=0.
Первый корень находим подбором среди делителей свободного члена (38): ±1, ±2, ±19, ±38.
Проверим корень -1: (-1)⁴-14*(-1)²-1+38=0;
1-14-1+38=38-14=14≠0 - не корень.
Проверим корень 1: 1⁴-14*1²+1+38=0;
1-14+39=26≠0 - не корень.
Проверим -2: (-2)⁴-14*(-2)²-2+38=0
16-56+36=-4≠0 - не корень.
Проверим 2: 2⁴-14*2²+2+38=0
16-56+40=0 - корень.
Итак, 2 является корнем уравнения х⁴-14х²+х+38=0.
Это значит, что уравнение х⁴-14х²+х+38=0 делится без остатка на х-2. В результате деления получаем х³+2х²-10х-19 (деление на картинке).
Теперь среди делителей свободного члена ищем корень кубического уравнения.
Если х=-1, тогда (-1)³+2*(-1)²-10*(-1)-19=-1+2+10-19=-8≠0.
Если х=1, тогда 1³+2*1²-10*1-19=1+2-10-19=3-29=-26.
Если х=-19, тогда (-19)³+2*(-19)²-10*(-19)-19=-6859+722+190-19=-5966≠0.
Если х=19, тогда 19³+2*19²-10*19-19=6859+722-190-19=7372≠0.
Получается, кубические уравнение х³+2х²-10х-19=0 не имеет корней в области действительных чисел.
Теперь подставим корень х=2 в уравнение у=7-х²: у=7-2²=7-4=3.
ответ: (2; 3).
