Даны уравнения двух сторон треугольника 6x-5y-4=0 и -3x+5y-1=0.
Также дана точка пересечения медиан Р(0; 1).
Находим вершину А как точку пересечения заданных сторон.
6x-5y-4=0
-3x+5y-1=0.
3х -5 = 0 или х(А) = 5/3, у(А) = (6х - 4)/5 =( (30/3) - 4)/5 = 6/5.
Точка А((5/3); (6/5)).
Длина медианы АД в 1,5 раза больше отрезка АР:
Вектор АР =((0-(5/3); (1-(6/5)) = ((-5/3); (-1/5)).
Вектор АД = 1,5(АР) = (3/2)(АР) = ((-5/2); (-3/10)).
Координаты точки Д = А + АД = ((5/3)+(-5/2); (6/5)+(-3/10)) = ((-5/6); (9/10)).
Точка Д - основание медианы АД. Влево и вправо от неё на равных расстояниях находятся точки В и С третьей стороны ВС.
Точки В и С - это точки пересечения неизвестной стороны ВС со сторонами АВ и АС, уравнения которых даны в задании.
Примем точку В как пересечение ВС и АВ, тогда точка С - это пересечение ВС и АС.
Уравнение стороны АВ 6x-5y-4=0 выразим относительно у:
у = (6/5)х - (4/5) или у = (1,2х - 0,8).
Примем координаты точки В: (х(В); у(В)) = (х(В); (1,2х - 0,8)).
Находим вектор ВД, точка Д((-5/6); (9/10)) или Д(-1,2; 0,9).
ВД = ((-5/6) - х(В)); (-1,2х(В) + 1,7)).
По равенству половин стороны ВС вектор ДС = ВД.
Точка С на стороне АС-3x+5y-1=0.
Координаты точки С = Д+ ВД = ((-5/3) - х(В); ((-6/5)х(В) + 2,6).
Подставим координаты точки С в уравнение АС.
-3((-5/3) - х(В)) + 5(-6/5)х(В) + 2,6)) - 1 = 0.
5 + 3х(В) - 6х(В) + 13 - 1 = 0,
-3х(В) + 17 = 0,
х(В) = 17/3, тогда у(В) = (6/5)*(17/3) - 0,8 = 6,8 - 0,8 = 6.
Найдены координаты точки В((17/3); 6).
Вектор ВД=((-39/6); -5,1) или ((-13/2); -5,1).
По двум точкам В и Д определяем искомое уравнение третьей стороны ВС: (х - (17/3)/(-13/2) = (у - 6)/(-5,1).
После упрощения получаем уравнение ВС: (6х - 102)/13 = (10у - 60)/51 или в общем виде 153х - 65у - 2211 = 0.
Заметим, что если мы для текущей расстановки не можем положить еще один уголок, то выполняется следующее условие: в любом квадрате 2х2 закрашено не менее двух клеток. Действительно, если в квадрате 2х2 закрашена только одна клетка, то в оставшиеся три клетки размещается еще один уголок. Тем более уголок размещается, если в квадрате 2х2 нет закрашенных клеток.
Рассмотрим в квадрате 5х5 четыре квадрата 2х2, выделенных на картинке. Поскольку один уголок не может одновременно располагаться в двух таких квадратах, то уголков должно быть как минимум четыре, для того чтобы выполнялось условие, оговоренное выше.
Итак, минимальное число уголков равно 4. Но для 4 уголков мы уже можем показать требуемую расстановку (на картинке).
ответ: 4
