Задачка очень специфическая, но интересная.
Необходимо доказать неравенство:
(2^x -1)*(3^x -1) <= x/2 *( 6^x -1)
Сразу заметим уникальное свойство данного неравенства:
Пусть мы доказали, что неравенство выполнено для x0
(2^x0 -1)*(3^x0 -1) <= x0/2 *( 6^x0 -1)
Поделим обе части неравенства на 6^x0 >0, деля первую и вторую скобку слева на 2^x0 и 3^x0
(1 - 2^(-x0) ) *( 1-3^(-x0) ) <= x0/2 * (1-6^(-x0) )
(2^(-x0) -1)*(3^(-x0) -1) <= -x0/2 *( 6^(-x0) -1)
Иначе говоря, если неравенство справедливо для x0, то оно справедливо и для -x0.
Таким образом, достаточно доказать справедливость неравенства для x>=0 , чтобы доказать, что оно справедливо для всех действительных x.
Раскрываем скобки:
6^x -2^x - 3^x + 1 <= x/2 * 6^x - x/2
Сделаем замену для удобства : x/2 = t >=0
6^(2t) -2^(2t) -3^(2t)+1 - t*6^(2t) +t <=0
6^(2t) *(t-1) +2^(2t) +3^(2t) -t -1 >= 0
Преобразуем:
2^(2t) +3^(2t) = ( 2^t -3^t ) ^2 + 2* 2^t * 3^t = ( 2^t -3^t ) ^2 +2* 6^t
6^(2t) *(t-1) + 2* 6^t -t -1 + ( 2^t -3^t ) ^2 >=0
6^(2t)*(t-1) +2*6^t - (t-1) -2 + ( 2^t -3^t ) ^2 >=0
(t-1) * ( 6^(2t) -1) +2*(6^t -1) + ( 2^t -3^t ) ^2 >=0
(t-1) * (6^t -1) *(6^t +1) +2*(6^t -1) + ( 2^t -3^t ) ^2 >=0
(6^t - 1) * ( (t-1)*(6^t +1) +2) + ( 2^t -3^t ) ^2 >=0
при t>=0
6^t - 1 >=0
( 2^t -3^t ) ^2 >=0
Докажем, что :
f(t) =(t-1)*(6^t +1) +2 >= 0 , при t>=0
при t>1 неравенство очевидно, а вот для 0<=t<=1 доказательство далось очень нелегко.
При 0<=t <1
cправедливо разложения в ряд Тейлора:
ln( (1+t)/(1-t) ) = 2* ( t +t^3/3 +t^5/5+...+t^(2n-1)/(2n-1)+...)
Поскольку : t>=0
Справедливо неравенство:
ln( (1+t)/(1-t) ) >= 2t
Заметим, что 2>ln(6)
Действительно : тк 2,5 < e
log(2,5 ; 6) > ln(6)
log(2,5 ; 6) <2 , тк (2,5)^2 =6,25>6
2>log(2,5 ; 6) > ln(6)
Поскольку t>=0
ln( (1+t)/(1-t) ) >= 2t > t*ln(6)
Поскольку e>1
e^(ln( (1+t)/(1-t) )) >= e^(t*ln(6) )
(1+t)/(1-t) >= 6^t - очень оригинальное неравенство.
Тк t<1 , то 1-t>0 , значит на него можно умножить обе части неравенства:
(1+t)>=6^t *(1-t)
6^t *(t-1) +1+t >=0
6^t*(t-1) +t-1 +2 >=0
(6^t+1)*(t-1) +2 >=0, для 0<=t< 1 - получилось :)
Отдельно проверим это неравенство для t=1
2>=0 - верно
При t=0 выполняется равенство :
(1+1)*(-1) +2 = 0
Таким образом неравенство:
(6^t - 1) * ( (t-1)*(6^t +1) +2) + ( 2^t -3^t ) ^2 >=0
доказано для t>=0 , а значит:
(2^x -1)*(3^x -1) <= x/2 *( 6^x -1) доказано для любого x>=0, но согласно описанному в начале замечательному свойству, оно справедливо и для x<0.
То есть неравенство:
(2^x -1)*(3^x -1) <= x/2 *( 6^x -1) доказано для всех действительных x.
ЧТД
1) Пусть равенство 
выполнено. Тогда выполнено и равенство 
, но слева иррациональное число, а справа целое, противоречие.
2) Пусть сразу 
, 
. Тогда нам нужно найти как можно меньшее значение 
. Мы сможем этого достичь, если числа 
будут достаточно большими, а величина 
достаточно маленькой.
Найдем такие числа. Пусть 
, возьмем 
. Получим 
, пусть 
, тогда требуется найти такое 
, чтобы 
, сделаем последнюю замену: 
, имеем: 
, откуда сразу угадывается решение 
. Возвращаясь к заменам, получим 
, Значит, 
, 
.
Теперь осталось проверить: 
. Итак, решением будет тройка 
