прощения, если решение слишком длинное. Более короткого строгого доказательства я не нашёл.
abc + ab + bc + ac + a + b + c = 164 Пусть a,b,c нечётные, тогда в левой части сумма 7 нечётных слагаемых, которая тоже нечётная и не может равняться чётному числу из правой части. Аналогично, если среди этих чисел одно или два нечётных, то в левой части одно или три нечётных слагаемых. Значит, все эти числа чётные. Пусть a=2a', b=2b', c=2c', где a',b',c' - какие-то натуральные числа. Тогда уравнение будет выглядеть так:
8a'b'c'+4a'b'+4b'c'+4a'c'+2a'+2b'+2c'=164. Сократим на 2, получим: 4a'b'c'+2a'b'+2b'c'+2a'c'+a'+b'+c'=82.
Предположим, что a≥b≥c и a'≥b'≥c'. Докажем, что c'=1. Действительно, пусть это не так. Тогда a'≥b'≥c'≥2. Причём если a'=b'=c'=2, равенство неверно: 4*8+8+8+8+2+2+2=62≠82. Пусть a'=3, b'=2, c'=2, тогда левая часть равна 48+12+12+12+3+2+2=91>82. Тогда при других значениях a',b',c', таких, что a'≥b'≥c'≥2, левая часть тем более больше 82.
При c'=1 уравнение примет вид: 4a'b'+2a'b'+2b'+2b'+a'+b'=81 или 6a'b'+3a'+3b'=81, 2a'b'+a'+b'=27. Очевидно, что ровно одно из чисел a', b' нечётно. Предполагая, что a'≥b', переберём возможные значения a', b'.
При b'=1 2a'+a'=26, левая часть делится на 3, правая нет, противоречие. При b'=2 4a'+a'=25. a'=5. Таким образом, получаем решение a=10, b=4, c=2. Легко проверить, что при этих значениях равенство верно. Тогда abc=80. При b'=3 6a'+a'=24, противоречие, 24 на 7 не делится. При b'≥4 2a'b'≥32, равенство заведомо не выполняется, так что перебирать нет смысла.
Вообще говоря, тройка (10,4,2) - не единственное решение уравнения. Мы предположили, что a≥b≥c, но если это не так, остальные 5 троек (10,2,4), (2,4,10), (2,10,4), (4,10,2), (4,2,10) - также решения. Тем не менее, во всех случаях произведение abc равно 2*4*10=80. Это и будет ответом.
По горизонтали 2. Сторонники Ж. Кальвина 6. Движение за церковную реформу 7. Прощение грехов 9. 13. Политика, направленная на борьбу с протестанизмом 16. Передача церковных земель государству 18. Сожжение на костре 19. Глава православной церкви По вертикали 1. Собрание пасторов 3. Немецкий богослов 4. Собрание пресвитеров 5. Направление католичества 8. Монашеская организация 10. Глава католической церкви 11. Последователь Лютера 12. Прозвище Ж. Кальвина 14. Собрание представителей церквей 15. Мировая религия 17. Наука о религии
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
