Выберите крайние члены пропорции 6/5=36/30

P = m/n,
Пространство исходов: неупорядоченные выборки по 3 (без повторений).
n = { кол-во сочетаний из 5 по 3} = 5*4*3/(3!) = 5*4/2 = 5*2 = 10;
Найдем, сколько исходов благоприятствуют указанному в условии событию. Треугольник можно построить тогда и только тогда, когда длина большей стороны (из трех) строго МЕНЬШЕ суммы длин остальных двух. Т.к. наборы без повторений, то в них всегда есть наибольший (по значению на карточке).
В общем благоприятствующий исход только один это набор {3,5,7}.
P = 1/10 = 0,1.

1) при n=1:

левая часть: это первый член суммы, т.е.2

правая часть: 1*(2*1^2+9+1)/6 = 12/6=2

2=2 , т.е. равенство выполняется

2) предполагаем, что 2+7+14+...+(n^2+2n+1)=n(2n^2+9n+1)/6

3) проверяем верность этого равенства для (n+1):

для удобства записи я буду отдельно упрощать левую часть, потом правую и докажу, что они равны, итак, левая часть:

2+7+14++(n^2+2n-1)+((n+1)^2+2(n+1)-1) = т.к. мы предположили п.2, то первые n слагаемых я заменяю на их значение, т.е. на "правую" часть из п.2 и прибавляю последнее слагаемое =  n(2n^2+9n+1)/6  + ( (n+1)^2 +      2(n+1)-1) = (2n^3+9n^2+n)/6+(n^2+2n+1+2n+2-1) = (2n^3+9n^2+n)/6 + (n^2+4n+2) = приводим к общему знаменателю:  =

=(2n^3+9n^2+n+6n^2+24n+12)/6 = (2n^3+15n^2+25n+12)/6

Теперь займёмся правой частью для (n+1):

((n+1)(2(n+1)^2+9(n+1)+1)/6 = ((n+1)(2n^2+4n+2+9n+9+1))/6 = ((n+1)* (2n^2+13n+12))/6 = (2n^3+13n^2+12n+2n^2+13n+12)/6 =  (2n^3+15n^2+25n+12)/6

пришли к тому же выражению, что и при преобразовании левой части, т.е. утверждение доказано методом математической индукции.