1)
а)84277+1328568=1412845
б)5806052-39371=5766681
2)
12186+7943=20129==20000
3)
а)164+237+363+236=(164+236)+(237+363)=400+600=1000
б)228+453+772=(228+772)+453=1000+453=1453
в)382+618+5439=(382+618)+5439=1000+5439=6439
г)12078+1485+6922+3515=(12078+6922)+(1485+3515)=19000+5000=24000
4)
53+64=117(км/ч)–скорость сближения
117*3=351(км)–проехали
600-351=249(км)–осталось
ответ: 249 км
5)
18*2=36(ш.)–желтых и синих
36/3=12(ш.)–белых
12+36+36+18=102(ш.)–всего
ответ: 102 шарика
6)
2+10=12(см)–длина прям.
(12+2)*2=28(см)–периметр квадрата
28/4=7(см)–сторона квадрата
7*7=49(см^2)–площадь квадрата
ответ: 49 см^2
Пусть длина палки равна 1. По условию задачи, если взять любые три кусочка, то сумма длин двух наименьших из них не больше длины самого длинного из них. Расположим кусочки в порядке убывания их длин: 
Требуется доказать, что 
Предположим противное, то есть что 
По условию 
При этом 
Идем по цепочке дальше. По условию 
, при этом 
. Продолжая этот процесс, получаем 
Суммируя, получаем 
Полученное противоречие (ведь сумма длин кусочков должна равняться 1) доказывает требуемое утверждение.
Замечание. Для тех, кто устал от этих выкладок - простое рассуждение без чисел. Первый (самый длинный кусок) лежит в первой трети отрезка [0;1]. Остаются две трети отрезка [0;1]. Пусть это отрезок [b;c]. Второй и третий куски лежат в его первой половине, а поскольку третий занимает не больше половины места, четвертый и пятый займут не больше половины от правой половины, и так далее. Сами додумайте до конца.
