знайти об'єм правильної трикутної піраміди ,сторона основи 6см, а бічне ребро утворює з площиною основи кут 30 градусів.

1) Диагональ куба 2√3 см. Она равна а√3 (а - ребро куба).
Отсюда ребро куба равно 2 см.
Объём куба V = a³ = 2³ = 8 см³.

2) Сторона основания правильной четырехугольной призмы 6 см, объём призмы прямоугольной 360 см³.
So = 6² = 36 см².
Высота призмы равна Н = V/So = 360/36 = 10 см.
Sбок = РН = 4*6*10 = 240 см².
S = 2Sо + Sбок = 2*36 + 240 =  312 см².

3) Если катеты 3 и 4 см, то гипотенуза равна 5 см (свойство знаменитого египетского треугольника, проверяется по Пифагору).
Отсюда высота Н призмы равна:
Н= 25/5 = 5 см.
Площадь So основания призмы как прямоугольного треугольника равна:
So = (1/2)*3*4 = 6 см².
Объём V призмы равен:
V = SoH = 6*5 = 30 см³.

4) Квадрат со стороной 10 см вращается вокруг своей диагонали.Найти объём тела вращения.
Тело вращения - 2 конуса с общим основанием.
Радиус R основания и высота Н конуса равны половине диагонали, то есть R = Н = 5√2 см.
So = πR² = 100π см².
Объём V тела равен:
V = 2*(1/3)SoH = (2/3)*100π*5√2 = 1000π√2/3 см³.

5) Найти объём конуса,если его радиус 4 см, а образующая наклонена под углом 45° к основанию.
Из задания следует: R = H = 4 см.
So = 16π см².
V = (1/3)SoH = (1/3)*16π*4 = (64/3)π см³.

Даны четыре точки А1 (6, 1, 1), А2 (4, 6, 6), А3 (4, 2, 0) и А4 (1, 2, 6).

а) Уравнение плоскости А1, А2, А3 находим на основе смешанного произведения векторов.

x-6     y-1      z-1       x-6     y-1              x-6     y-1      z-1       x-6     y-1

4-6     6-1     6-1      4-6       6-1             -2        5        5        -2       5

4-6    2-1     0-1      4-6       2-1 =           -2         1        -1         -2       1 =

= (x - 6)*((-5) -5) + (y - 1)*(-10-2) + (z - 1)*(-2 + 10) =

= -10x - 12y + 8z + 64 = 0.  Сократим на -2:

Уравнение плоскости А1А2А3 равно 5x + 6y - 4z - 32 = 0.

б) Уравнение прямой А1, А2: (x - 6)/(-2) = (y - 1)/5 = (z - 1)/5.

в) Прямой А4, М, перпендикулярной к плоскости А1, А2, А3.

Нормальный вектор плоскости А1А2А3 (5; 6; - 4) - это направляющий вектор прямой, перпендикулярной к этой плоскости.

Получаем уравнение прямой А4М: (x -1)/5 = (y - 2)/6 = (z - 6)/(-4).

г) Прямой А4, N, параллельной прямой А1, А2.

Вычислить:

д) Синус угла между прямой А1, А4 и плоскостью А1, А2, А3.

Вектор А1А4:(-5; 1; 5), его модуль равен  √(25+1+25) = √51.

Нормальный вектор плоскости А1А2А3 (5; 6; - 4), его модуль равен √(25+36+16) = √77. Скалярное произведение равно -25+6-20 = -39.

sin fi = |-39|/(√51*√77)=  0,62234923  

fi = 0,67174 радиан,  38,4879 градус.

ж) Косинус угла между координатной плоскостью Оxy и плоскостью А1, А2, А3.

Нормальный вектор координатной плоскости Оxy равен (0; 0; 1), его модуль равен 1. Нормальный вектор плоскости А1А2А3 (5; 6; - 4), его модуль равен √77.

cos a = |0*5+0*6+1*(-4)|/(1*√77) = 4/√77 ≈ 0,455842.