Вычислите: 1:(5*10)+1:(10*15)+1:(15*20)+ … +1:(80*85).

Пошаговое объяснение:

Умножаем и числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, т.е на (1+i)

a=4·(1+i)/(1–i)·(1+i)=(4+4i)/(1–i2)=(4+4i)/(1–i2)=(4+4i)/2=2+2i – в алгебраической форме вида x+iy

при этом

x=2; y=2

см. переход от алгебраической к тригонометрической в приложении 1

|z|=√22+22=√8

tg φ =y/x=2/2=1 ⇒ φ =π/4

a=√8·(cos(π/4)+isin(π/4)) – в тригонометрической форме

2)

a2=(2+2i)2=4+8i+4i2=4+8i–4=8i

Запишем a2 в тригонометрической форме:

a2=8·(cos(π/2)+isin(π/2))

Решаем уравнение:

z3=8i

Извлекаем корень кубический . Применяем формулу

( см. приложение 2)

∛(8i)=∛8·(cosπ2+2πk3+isinπ2+2πk3), k ∈ Z

при k=0

первый корень

zo=2·(cosπ6+isinπ6)=3–√+i

при k=1

второй корень

z1=2·(cosπ2+2π3+isinπ2+2π3)=2⋅(cos5π6+isin5π6)=−3–√+i

при k=2

третий корень

z2=2·(cosπ2+4π3+isinπ2+4π3)=2⋅(cos3π2+isin3π2)=−i

Корни расположены на окружности радиуса 2

Точки zo;z1;z2 делят окружность на три ( потому что корень третьей степени) равные части, каждая по 120 °

Все отношения между числами симметричные, т.е. если взаимно поменять местами, скажем, и то ничего не изменится, всё будет работать как прежде.

Значит, мы можем переставить все числа, так,
чтобы оказалось, что

Введём новые переменные

И будем искать такие комбинации чтобы


и


Начнём с первого требования, оно эквивалентно утверждению, что:

;

;

При правая часть отрицательная, а левая положительна, что не возможно.

Значит, ;

Теперь подставим вместо его значение и будем искать такие комбинации чтобы:

– теперь всегда будет выполняться с
и


Проанализируем второе требование, оно эквивалентно утверждению, что:

;

;

При правая часть отрицательная, а левая положительна, что не возможно.

При но это не подходит по условию.

Значит, ;

Теперь подставим вместо его значение и будем искать такие комбинации чтобы:

– теперь всегда будет выполняться с
– теперь всегда будет выполняться с


Проанализируем последнее требование, оно эквивалентно утверждению, что:

;

;

;

;

;

Сумма всей комбинации – это:



максимум которой достигается при минимальном значении

в знаменателе дроби т.е. при

Тогда сумма всей комбинации

;

О т в в е т : 59 .