Что мы понимаем под произведением вектора на число?

 Наряду с понятиями алфавита и основания в позиционных системах счисления будем использовать понятие базиса. 
    Базис позиционной системы счисления – это последовательность чисел, каждое из которых задает значение цифры «по месту» или «вес» каждого разряда. 
    В привычной нам десятичной системе счисления базисом являются степени числа десять – 1, 10, 100, 1000, 1000… Это означает, что в записи числа каждая последующая цифра «весит» больше предыдущей в 10 раз. Более наглядно это проявляется в так называемой развернутой форме записи числа. 
    444=4*100+4+101+4*102; 658=8*100+5*101+6*102. 
    Натуральный ряд чисел в десятичной системе счисления: 1..9, 10..99, 100… 
    Кроме десятичной, мы будем рассматривать и другие позиционные системы счисления.

1. Задана геометрическая прогрессия B(n), для первых ее членов существует зависимость:

b1 + b2 + b3 = 21;

b1² + b2² + b3² = 189;

2. Выразим все неизвестные (их же три) через первый член и знаменатель, тем более их же надо найти:

b1 + b1 * q + b1 * q² = b1 * (1 + q + q²) = 21;

b1² + b1² * q² + b1² * q⁴ = b1² * (1 + q1 + q⁴) = 189;

3. Делим второе уравнение на первое:

(b1² * (1 + q1 + q⁴)) / (b1 * (1 + q + q²)) = 189 / 21;

4. Используем разложение суммы трех квадратов:

b1 * (1 + q + q²) = 21;

b1 * (1 - q + q²) = 9;

5. Из первого уравнения: b1 = 21 / (1 + q + q²) подставим во второе:

21 * (1 - q + q²) /(1 - q + q²) = 9;

6. В итоге получаем квадратное уравнение:

2 * q² - 5 * q + 2 = 0;

q1,2 = (5 +- sqrt(5² - 4 * 2 * 2) / 2 * 2 = (5 +- 3) / 4;

q1 = (5 - 3) / 4 = 0,5;

q2 = (5 + 3) / 4 = 2;

b11 = 21 / (1 + 0,5 + (0,5)²) = 12;

b12 = 21 / (1 + 2 + 2²) = 3.

ответ: 1) q = 0,5, b1 = 12; 2) q = 2, b1 = 3.