На доске написано некоторое натуральное число. Один раз в час записанное число
меняют на сумму квадратов его цифр. Докажите, что в какой-то момент времени на
доске будет записано либо число 1, либо число 89.

2

Пошаговое объяснение:

5 пример состоит из 11 действий

1) 0,6+0,425=1,025

2) 1,025-0,005=1,02

3) 1,02 : 0,1=10,2 - числитель 1ой дроби  решен, результат пойдет в 6ое действие

4) 1/6+3 1/3 = 3 1/2=3,5

5) 30,5+3,5=34 - знаменатель 1ой дроби, результат в 6ое действие

6) 10,2/34 = 0,3 - результат 1ой дроби в 10 действие

7) 6 3/4 + 5 1/2=11 5/4= 12 1/4 = 12,25 - числитель 2ой дроби результат в 9ое действие

8)26:3 5/7 = 26 * 7/26=7 - знаменатель 2ой дроби, результат в 9ое действие

9) 12,25 : 7 = 1,75 -  результат 2ой дроби в 10 действие

10) 0,3 + 1,75 = 2,05

11) 2,05-0,05 = 2 - в ответ

Есть 2 варианта ответа.
1) Оставить ответ такой, какой получился. Ведь переменная х - это угол. А arc sin(1/3)  и есть угол.
Чтобы определить значение х в заданном промежутке, надо их приравнять.
1 ответ: х = πk:
πk = -π        k = -1        x = -π.
πk = 3π/2     k = 3/2      Целое значение k = 1.
Есть ещё 2 значения к между ними:
к =0    х = 0,
к = 1   х = π.
2 ответ:
x = arc sin(1/3) + 2πk:
Так как угол  arc sin(1/3) больше 0 и меньше π/2, то заданный промежуток можно выразить так:
левый предел:-π - 2πk < π/2, сократим на π:
-1 - 2k < 1/2,
2k > -1 - (1/2) ,
k > -3/4. То есть ближайшее целое значение к = 0,
правый предел: 3π/2 - 2πk < π/2,
3/2 - 2k < 1/2,
2k > (3/2) - (1/2) = 2/2 = 1,
k > 1/2.
Если принять значение k = 1, то тогда корень равен x = arc sin(1/3) + 2π, что больше 3π/2.
Значит, k = 0.
Корень равен: x = arc sin(1/3).

3 ответ:
x = π - arc sin(1/3) + 2πk (именно минус после π).
-π = arc sin(1/3) + 2πk,
-π - 2πk < π/2,
-1 - 2k < 1/2,
2k > -1 -(1/2),
2k >-3/2,
k > -3/4.
То есть ближайшее целое значение к = 0.
Корень равен: x = π - arc sin(1/3).

Итого 5 значений:
1) х = -π;
2) х = 0;
3) х = arc sin(1/3);
4) x = π - arc sin(1/3);
5) x = π.

2) Можно выразить в цифровом виде, найдя arc sin(1/3) в радианах: arc sin(1/3) =  0.339837 радиан.
В заданном промежутке 5 значений х:
1) х = - 3,141593;
2) х = 0;
3) х = 0,339837;
4) х = 2,801756;
5) х = 3,141593.