3). Перевір
ревірити виконання переставного закону множення (АВ=ВА) для матриць:
3 -1)
(
11)
В =
(31)
А =​

Ясно, что при n=2k система имеет решение a=3^k, b=0. Покажем, что других решений нет.

Пусть ни одно из чисел a и b не делится на 3. Покажем, что если число имеет остаток 1 или 2 при делении на 3, то квадрат этого числа имеет остаток 1 при делении на 3. Действительно, пусть a=3k+1, тогда a²=9k²+6k+1, если a=3k+2, то a²=9k²+18k+4, в обоих случаях остаток равен 1. Но сумма двух чисел с остатком 1 при делении на 3 не может нацело делиться на 3, получили противоречие.

Теперь рассмотрим случай, когда хотя бы одно из чисел a и b делится на 3. Если только одно число делится на 3, то сумма квадратов не будет делиться на 3, то есть, такой вариант невозможен. Остается случай, когда на 3 делятся оба числа. Пусть , где p и q - натуральные числа, не делящиеся на 3. Ясно, что x<n, y<n. Если x=y, то, разделив обе части на , получим уравнение . Поскольку числа p и q не делятся на 3, а величина n-x больше 0, это уравнение корней не имеет. Наконец, рассмотрим случай, когда x≠y, в силу симметрии можно считать, что x<y. Разделив уравнение на , имеем . Первое слагаемое не делится на 3, второе и третье делятся, получили противоречие.

Таким образом, уравнение имеет решение лишь при четных n. Следовательно, оно имеет 515 решений, меньших 1031.

Мин танышам    беләм     карыйм       телим
син танышасын     беләсең   карыйсың    телисең
ул таныша    белә    карый    тели
без танышабыз    беләбез     карыйбыз    телибез
сез танышасыз     беләсез     карыйсыз   телисез
алар танышалар      беләләр    карыйлар   телиләр

мин язмыйм   көлмим  җырламыйм   сөйләмим
син язмыйсың   көлмисең   җырламыйсың   сөйләмисең
ул язмый көлми җырламый сөйләми
без язмыйбыз  көлмибез  җырламыйбыз   сөйләмибез
сез язмыйсыз  көлмисез  җырламыйсыз   сөйләмисез
алар  язмыйлар  көлмиләр  җырламыйлар  сөйләмиләр