а) На 16 прямоугольников из которых будут в любых сочетаниях штук:
- квадрат 2х2
- прямоугольник 4х1
б) на 21 прямоугольник, из которых
- 1 квадрат 2х2,
- остальные 20 прямоугольников 3х1.
Пошаговое объяснение:
Для решения будем исходить из следующей предпосылки:
- доска является квадратом и разбита на 64 малых квадрата (8 на 8 клеток)
- минимальная единица размера/площади равна 1 шахматной улетке
- цвет клетки значения не имеет и квадрат белого цвета считается одинаковым по сравнению с черным квадратом
а) Очевидно, что число прямоугольников будет равно
N = 64 : S,
где S - площадь каждого прямоугольника.
Так как в условии прямо указано, что есть неравные прямоугольники - следовательно квадрат 1х1 с площадью 1 не подходит - у него нет различных вариаций.
Очевидно, что прямоугольники площадью 2, 3 клетки тоже имеют только один формат: 2х1 и 3х1 соответственно - не подходит (прямоугольник площадью 3 еще и потому, что 64 не делится нацело на 3)
Так что ближайшее подходящее - это прямоугольник площадью 4 который имеет различные формы:
- квадрат 2х2
- прямоугольник 4х1
И значит, такие прямоугольники нам подходят. А их число будет равно
N = 64 : 4 = 16 шт.
Вариантов разрезки - множество. Один для примера:
Отрезать сверху доски полоску длиной 8 шириной 2 клетки. Далее полоску разрезать на 4 квадрата 2х2. Оставшуюся доску (8х6) разрезать на шесть полос 8х1. Каждую полосу - пополам: получим 12 прямоугольников 4х1.
Получим 4 квадрата 2х2 плюс 12 прямоугольников 4х1 = 16 фигур
б) Периметр равен удвоенной сумме длин сторон прямоугольника:
Р = 2•(a+b)
Так как в условии прямо указано, что есть неравные прямоугольники - следовательно квадрат 1х1 с периметром 4 не подходит - у него нет различных вариаций.
Очевидно, что прямоугольник 2х1 клетки тоже имеет только один формат, соответственно - не подходит
Ближайший подходящий периметр равен 8: он у прямоугольника 3х1 и квадрата 2х2
P(3x1) = P(2x2) = 2•(3+1)=2•(2+2) = 8
Следовательно, это и есть подходящая нам вариация.
Следует учесть, что прямоугольники имеют разную площадь
S(3x1) = 3
S(2x2)= 4
Следовательно, прямоугольников 3х1 должно быть максимальное число: так как на 3 оно нацело не делится, попробуем разбивку 1 квадрат 2х2 и остальные 3х1. Тогда прямоугольников 3х1 должно быть
(64 - 4) : 3 = 60 : 3 = 20 шт.
Итого будет 21 прямоугольник, из которых
- 1 квадрат 2х2,
- остальные 20 прямоугольников 3х1.
Вариант разбивки:
Вырезаем полосу 8х2, как в задании (а).
Отрезаем от нее квадрат 2х2, остаток отрезанного (это прямоугольник 6х2) режем на 4 полоски 3х1.
Оставшуюся часть доски (8х6) режем на 2 части 8х3. Каждую из этих частей режем на восемь вертикальных полоски 3х1
Итого 1 (2х2) + 4 полоски 3х1 + 2•8 полосок 3х1
Всего 1 + 4 + 8 + 8 = 21 прямоугольник.
