1.
а (0; 1), b (2; 1). Обчислити скалярний добуток векторів 3а + 2b і а – b.
2.
Визначити, при яких значеннях m довжини векторів а (2m; 2) і b (m; 1) будуть рівні.
А (-3; 5) і В (2;-4). Виразити вектор АВ через орти i та j
3.
Знайти кут між векторами а (1; 0) і b (1; -1).

Ясно, что при n=2k система имеет решение a=3^k, b=0. Покажем, что других решений нет.

Пусть ни одно из чисел a и b не делится на 3. Покажем, что если число имеет остаток 1 или 2 при делении на 3, то квадрат этого числа имеет остаток 1 при делении на 3. Действительно, пусть a=3k+1, тогда a²=9k²+6k+1, если a=3k+2, то a²=9k²+18k+4, в обоих случаях остаток равен 1. Но сумма двух чисел с остатком 1 при делении на 3 не может нацело делиться на 3, получили противоречие.

Теперь рассмотрим случай, когда хотя бы одно из чисел a и b делится на 3. Если только одно число делится на 3, то сумма квадратов не будет делиться на 3, то есть, такой вариант невозможен. Остается случай, когда на 3 делятся оба числа. Пусть , где p и q - натуральные числа, не делящиеся на 3. Ясно, что x<n, y<n. Если x=y, то, разделив обе части на , получим уравнение . Поскольку числа p и q не делятся на 3, а величина n-x больше 0, это уравнение корней не имеет. Наконец, рассмотрим случай, когда x≠y, в силу симметрии можно считать, что x<y. Разделив уравнение на , имеем . Первое слагаемое не делится на 3, второе и третье делятся, получили противоречие.

Таким образом, уравнение имеет решение лишь при четных n. Следовательно, оно имеет 515 решений, меньших 1031.

Черноземы - почвы лесостепной и степной зон умеренного пояса, самые богатые гумусом, содержание которого составляет 6-9%, отчего почвы имеют интенсивный черный или буро-черный цвет. Мощность гумусового горизонта - от 40 до 120 см. Органическое вещество накапливается в верхней части профиля, иллювиальный горизонт обогащен кальцием.
При достаточном количестве влаги черноземы очень плодородны; используются под посевы зерновых, технических, овощных, кормовых культур, сады, виноградники. Черноземы распространены в России,

Серые лесные почвы - почвы широколиственных лесов и лесостепей умеренного пояса. Гумусовый горизонт достигает 30 см. Серые лесные почвы:
- используются для сенокосов и пастбищ, посевов зерновых, технических, овощных и др. культур, возделывания садов;
- распространены на Украине и в России, Канаде, на севере США.
Серые лесные почвы разделяются:
- светло-серые (2-4% гумуса) - наиболее оподзоленные слабо оструктуренные почвы, серые; и
- темно-серые (7-9% гумуса) - менее оподзоленные, обладающие относительно хорошими физическими свойствами, значительной биологической активностью, плодородием