Приведем примерный алгоритм получения необходимых данных.
1.Нахождение области определения функции
Определение интервалов, на которых функция существует.
!!! Очень подробно об области определения функций и примеры нахождения области определения тут.
2.Нули функции
Для вычисления нулей функции, необходимо приравнять заданную функцию к нулю и решить полученное уравнение. На графике это точки пересечения с осью ОХ.
3.Четность, нечетность функции
Функция четная, если y(-x) = y(x). Функция нечетная, если y(-x) = -y(x). Если функция четная – график функции симметричен относительно оси ординат (OY). Если функция нечетная – график функции симметричен относительно начала координат.
4.Промежутки знакопостоянства
Расстановка знаков на каждом из интервалов области определения. Функция положительна на интервале - график расположен выше оси абсцисс. Функция отрицательна - график ниже оси абсцисс.
5. Промежутки возрастания и убывания функции.
Для определения вычисляем первую производную, приравниваем ее к нулю. Полученные нули и точки области определения выносим на числовую прямую. Для каждого интервала определяем знак производной. Производная положительна - график функции возрастает, отрицательна - убывает.
6. Выпуклость, вогнутость.
Вычисляем вторую производную. Находим значения, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Вторая производная положительна - график функции выпукл вверх. Отрицательна - график функции выпукл вниз.
7. Наклонные асимптоты.
Пример исследования функции и построения графика №1
Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.
1.
7 5 6 3 1 8 9 2 4
4 и 7 "соседи" по кругу.
2.
13:15-9:40 = 3 ч 35 мин = 60*3+35 = 180+35 = 215 мин играл в первый день
215+70 = 285 мин играл во второй день.
3.
Пусть первый за час выкопал x часть котлована. Тогда за второй час он выкопал 0,5x часть, а второй x. Вместе выкопали весь котлован.
За первый час первый выкопал 0,4 часть котлована, за второй 0,4:2 = 0,2 часть. Всего 0,4+0,2 = 0,6.
4.
Среди любых шести шаров есть хотя бы два одноцветных, значит всего не более 5 цветов.
Среди любых семи шаров не более четырёх одного цвета, значит всего не более чем по 4 шара каждого цвета.
В мешке осталось не более 3 красных шаров.
5.
8 м³ - минимальное, 11 м³ - максимальное. Значит двое других
1) по 9 м³. Тогда всего 8+9+9+11 = 37 м³
2) 9 и 10 м³. Тогда всего 8+9+10+11 = 38 м³
3) по 10 м³. Тогда всего 8+10+10+11 = 39 м³.
Так как каждый день работало трое, количество заготовленных дров должно быть кратно 3. Значит, было заготовлено всего 39 м³ дров.
