6
Пошаговое объяснение:
Если последняя цифра не перескакивает с 9 на 0, то суммы чисел увеличиваются по 1. если таких будет 4 подряд, то одно из них будет делиться на 4. Без переноса разряда можно найти не более трёх подходящих чисел. поэтому для длинного ряда подходят числа с последними цифрами 7,8,9,0,1,2. Больше 6 не выйдет, так как другие цифры совершают скачок только вместе с последней цифрой. Чтобы найти пример, постараемся, чтобы после переноса разряда вышло число, у которого сумма чисел имеет остаток от деления на 4, равный 1. Например: 997 (25),998(26),999(27),1000(1),1001(2), 1002(3).
Т.к. первый ход у Фокса, а числа на доске не могут повторяться, то Фокс победит, если число делителей числа нечетно.
Лемма: натуральное число имеет нечетное число делителей тогда и только тогда, когда это число полный квадрат.
Док-во: =>) Пусть а не является полным квадратом. Пусть b - делитель a => существует единственное c такое, что a=bc. При этом с≠b (иначе a - полный квадрат). А значит для любого делителя числа a найдется парный ему делитель => число делителей числа a четно.
<=) Если a - полный квадрат, то существует единственное c такое, что a=c*с. Для любого же другого делителя b числа a найдется парный ему и не равный делитель (иначе получим a=c*c=b*b=>a=b - противоречие). А значит число делителей нечетно.
Доказано.
Значит задача сводится к нахождению максимального полного квадрата на промежутке (600; 700).
700<729=27*27
Значит имеет смысл проверить 26: 26*26=676 - подходит.
ответ: 676
