Решите уравнение

C^3_x + C^2_x=15(x-1)

Для решения данного уравнения, мы воспользуемся свойствами биномиальных коэффициентов и разложением бинома Ньютона.

В данном уравнении у нас есть два биномиальных коэффициента: C^3_x и C^2_x. C^3_x представляет собой трёхчленный биномиальный коэффициент, который может быть выражен следующим образом:
C^3_x = x(x-1)(x-2)/3! = x(x-1)(x-2)/6.

Аналогично, C^2_x выражается как:
C^2_x = x(x-1)/2.

Заменим эти выражения в уравнении, чтобы получить:
x(x-1)(x-2)/6 + x(x-1)/2 = 15(x-1).

Умножим оба члена уравнения на 6, чтобы избавиться от знаменателя:
x(x-1)(x-2) + 3x(x-1) = 90(x-1).

Упростим уравнение, раскрыв скобки:
x(x-1)(x-2) + 3x(x-1) = 90x - 90.

Теперь раскроем скобки в первом члене уравнения, чтобы получить:
x(x^2 - 3x + 2) + 3x(x-1) = 90x - 90.

Раскроем скобки:
x^3 - 3x^2 + 2x + 3x^2 - 3x + 90 = 90x - 90.

Объединим подобные члены:
x^3 - x + 90 = 90x - 90.

Перенесём все члены уравнения влево:
x^3 - x - 90x + 90 - 90 = 0.

Упростим:
x^3 - 91x = 0.

Теперь можно провести факторизацию уравнения:
x(x^2 - 91) = 0.

Следовательно, у нас есть два возможных решения:
1. x = 0
2. x^2 - 91 = 0.

Для второго решения, решим уравнение x^2 - 91 = 0:
x^2 = 91.
x = ±√91.

Таким образом, окончательные решения данного уравнения:
1. x = 0
2. x = √91
3. x = -√91.

Ответ: уравнение имеет три решения: x = 0, x = √91 и x = -√91.