Знайдіть радіус круга, якщо площа сектора цього круга дорівнює 45 см², а центральний кут, що відповідає цьому сектору, дорівнює 72°

Ясно, что при n=2k система имеет решение a=3^k, b=0. Покажем, что других решений нет.

Пусть ни одно из чисел a и b не делится на 3. Покажем, что если число имеет остаток 1 или 2 при делении на 3, то квадрат этого числа имеет остаток 1 при делении на 3. Действительно, пусть a=3k+1, тогда a²=9k²+6k+1, если a=3k+2, то a²=9k²+18k+4, в обоих случаях остаток равен 1. Но сумма двух чисел с остатком 1 при делении на 3 не может нацело делиться на 3, получили противоречие.

Теперь рассмотрим случай, когда хотя бы одно из чисел a и b делится на 3. Если только одно число делится на 3, то сумма квадратов не будет делиться на 3, то есть, такой вариант невозможен. Остается случай, когда на 3 делятся оба числа. Пусть , где p и q - натуральные числа, не делящиеся на 3. Ясно, что x<n, y<n. Если x=y, то, разделив обе части на , получим уравнение . Поскольку числа p и q не делятся на 3, а величина n-x больше 0, это уравнение корней не имеет. Наконец, рассмотрим случай, когда x≠y, в силу симметрии можно считать, что x<y. Разделив уравнение на , имеем . Первое слагаемое не делится на 3, второе и третье делятся, получили противоречие.

Таким образом, уравнение имеет решение лишь при четных n. Следовательно, оно имеет 515 решений, меньших 1031.

6 (км/ч) средняя скорость Бабы Яги

Пошаговое объяснение:

Средняя скорость Бабы-Яги:  

Vср. = S / t,  где S - общий путь (S = S₁ + S₂ = 0,5S + 0,5S), t - общее время движения ( t = t₁ +  t₂ ).  

Первый участок пути:  

t₁ = S₁ / V₁ = 0,5S / V₁, где V₁ - скорость полета Бабы-Яги ( V₁ = 12 км/ч)

Второй участок пути:  

t₂ = S₂ /V₂ = 0,5S / V₂, где V₂ - скорость Бабы-Яги пешком (V₂ = 4 км/ч)

Вычислим среднюю скорость движения Бабы-Яги:  

Vср. = S / (0,5S / V₁ + 0,5S / V₁) = S / (0,5S / 12 + 0,5S / 4) =

S / (0,0417S +  0,1255S ) = 1/0,1667 ≈ 6 км/ч.