Показать, что если порядок группы четное число, то - вопрос №10666611 от дашулькот 26.10.2020 18:36

Question

Математика: Показать, что если порядок группы четное число, то в группе есть элемент порядка 2.​

дашулькот · Answer

Допустим, что в группе нет элемента порядка 2.

По определению группы G имеем:

1) $\exists1_G\; \forall v\in G: \;1_G*v=v*1_G=v$ . В группе нет элемента порядка 2 => ни один элемент группы, кроме 1_G , не обратен себе.

2) для каждого элемента группы существует обратный. => $\forall v\in G,v\neq 1_G\;\; \exists v^{-1}\neq v:\;v*v^{-1}=v^{-1}*v=1_G$ .

Но тогда порядок группы - число нечетное ( 1_G для себя обратный элемент). Противоречие.

А значит в группе с четным порядком существует элемент порядка 2.

Показать, что если порядок группы четное число, то в группе есть элемент порядка 2.​