ответ:4
Пошаговое объяснение:Предварительно заметим, что если
n=pv11pv22...pvss — разложение числа n на простые множители, то количество делителей числа n определяется по формуле
d(n)=(v1+1)(v2+1)...(vs+1).
Действительно, любой делитель d числа n имеет вид:
d=pα11pα22...pαss, где 0≤αi≤vi.
Показатель α1 можно выбрать показатель α2 можно выбрать и так далее, показатель αs можно выбрать Таким образом, количество выбрать показатели α1… αs или, что то же самое, выбрать делитель d числа n, которое равно (v1+1)(v2+1)...(vs+1).
1. Пусть n раскладывается на простые следующим образом:
n=2α3βpα11...pαss,
тогда количество делителей n равно
d(n)=(α+1)(β+1)(α1+1)...(αs+1).
2. Разложим исходное число на простые множители:
36=22⋅32.
После умножения n на 36 получим:
36n=2α+23β+2pα11...pαss,
d(36n)=(α+3)(β+3)(α1+1)...(αs+1).
3. Если количество делителей числа 36n увеличилось в 3 раза, то
d(36n)=3d(n) и (α+3)(β+3)(α1+1)...(αs+1)=3(α+1)(β+1)(α1+1)...(αs+1).
Отсюда находим
(α+3)(β+3)=3(α+1)(β+1),
αβ=3.
Таким образом, α=1, β=3 либо α=3, β=1.
Значит, для того чтобы после умножения на 36 количество делителей увеличилось в 3 раза, число должно иметь вид
2133q=54q или 2331p=24p,
где q, p взаимно просты с 6. Отметим, что числа этих видов не пересекаются, так как делятся на разную степень 2.
4. Посчитаем количество чисел указанных видов, не превосходящих 250.
Имеем
54q≤250,
q≤4.
Только q=1 подходит. Получаем только один вариант — число вида 54q.
Аналогично
24p≤250,
p≤10.
Числа p=1;5;7 — взаимно просты с 6. Получаем 3 варианта чисел вида 24p.
