Вычисли экстремумы и схематически изобрази график функции y=2x^2e^x.
запиши значения точек экстремума (при необходимости результат округли до десятых (e=2,7):
xmin=?
; ymin=?
;

xmax=?
; ymax=?
.

укажи промежутки возрастания (выбери один вариант):
(−∞; −2)∪(0; +∞)
(−∞; −2)∪(2; +∞)
(−2; 0)

Чтобы вычислить экстремумы функции, необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю. Давайте найдем производную функции y=2x^2e^x.

1. Найдем производную функции:
y' = (2x^2e^x)' = 2(2x)e^x + 2x^2(e^x)' = 4xe^x + 2x^2e^x.

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
4xe^x + 2x^2e^x = 0.

Мы можем запомнить, что e - это число, которое примерно равно 2,7. Таким образом, используя e=2,7, решим уравнение:
4x(2,7^x) + 2x^2(2,7^x) = 0.
Вынося общий множитель 2x(2,7^x) за скобки, получим:
2x(2,7^x)(4+2x) = 0.

4+2x = 0 или 2,7^x = 0.

4+2x = 0
2x = -4
x = -2

То есть xmin = -2.

2,7^x = 0

Заметим, что любое число, возведенное в степень 0, равно 1. Поэтому уравнение 2,7^x = 0 не имеет решений.

Итак, xmin = -2.

3. Чтобы найти значение функции ymin, подставим найденное xmin в начальное уравнение y=2x^2e^x:
ymin = 2(-2)^2e^(-2) = 2*4*(1/e^2) = 8/e^2 ≈ 8/7,4 ≈ 1,08.

Итак, ymin ≈ 1,08.


4. Для нахождения xmax и ymax нам нужно исследовать функцию на бесконечностях.

a) Когда x стремится к минус бесконечности, значение функции также будет стремиться к минус бесконечности.
b) При увеличении х до положительной бесконечности, значение функции будет стремиться к положительной бесконечности.

То есть, xmax и ymax в данной функции не существуют.


5. Для нахождения промежутка возрастания функции, нам необходимо проанализировать знаки производной функции в каждом интервале. Возьмем числа, принадлежащие каждому интервалу и подставим их в производную функцию:

a) Для интервала (-∞; -2):
x = -3: 4(-3)*e^(-3) + 2(-3)^2e^(-3) = -12e^(-3) + 18e^(-3) = 6e^(-3) > 0.
Знак производной положительный, это означает, что функция возрастает на этом интервале.

b) Для интервала (-2; 0):
x = -1: 4(-1)*e^(-1) + 2(-1)^2e^(-1) = -4e^(-1) + 2e^(-1) = -2e^(-1) < 0.
Знак производной отрицательный, это означает, что функция убывает на этом интервале.

c) Для интервала (0; +∞):
x = 1: 4(1)*e^(1) + 2(1)^2e^(1) = 6e^(1) > 0.
Знак производной положительный, это означает, что функция возрастает на этом интервале.

Итак, промежуток возрастания функции - (−∞; −2)∪(0; +∞).

Таким образом, ответ на вопрос:

xmin = -2,
ymin ≈ 1,08,
xmax не существует,
ymax не существует,
промежуток возрастания - (−∞; −2)∪(0; +∞).