Исследовать на монотонность функцию

Объем фигуры, образованной в результате вращения вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y = f(x) (a ≤ x ≤ b), Осью Ox и прямыми x= a и x = b, вычисляется по формуле:

Аналогично, объем фигуры, образованной в результате вращения вокруг оси Oy криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y = φ(x) (c ≤ x ≤ d), Осью Ox и прямыми y= c и y = d, находится по формуле:

ПРИМЕР №1. Вычислить объемы фигур, образованных вращением площадей, ограниченных указанными линиями.

y2 = 4x; y = 0; x = 4.

Пределы интегрирования a = 0, b = 4.

ПРИМЕР №2. y2 = 4x; y = x

Выполним построение фигуры. Решим систему:

y2 = 4x

y = x

найдем точки пересечения параболы и прямой: O(0;0), A(4;4).

Следовательно, пределы интегрирования a = 0; b = 4. Искомый объем представляет собой разность объема V1 параболоида, образованного вращением кривой y2 = 4x , и о объема V2 конуса, образованного вращением прямой y = x:

V = V1 – V2 = 32π – 64/3 π = 32/3 π

см. также как вычислить интеграл онлайн

ПРИМЕР №3. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оx фигуры, ограниченной прямой y=x и параболой .

Найдем точки пересечения линий. Для этого решим уравнение . Получим x1=0, x2=1.

Рис. 2. Объем тела вращения.

Объем тела может быть вычислен по формуле , где

, f2(x)=x.

.

ответ: .

см. также Площадь фигуры, ограниченной линиями: Площадь фигуры, ограниченной линиями

Выханду - Самая длинная река протекающая по территории Эстонии. Река берёт своё начало в окрестностях деревушки Саверна , а впадает в Тёплое озеро недалеко от деревни Выыпсу. Казари — река на территории западной Эстонии. Впадает в Матсалуский залив Балтийского моря. Длина реки — 113 км, шестая по длине река Эстонии. Кейла — река на северо-западе Эстонии, берущая начало в болоте Лоосалу, находящемся в Рапласком уезде к югу от Юуру, и впадающая в Финский залив в малом посёлке Кейла-Йоа. Нарва — река на границе Эстонии и Ленинградской области Российской Федерации. На реке расположены города — российский Ивангород и эстонский Нарва. Педья - четвёртая по длине река Эстонии. Берёт начало с возвышенности Пандивере, местечке Симуна и впадает в реку Эмайыги. Длина реки 122 км, площадь бассейна 2710 км². Пирита — река на территории Эстонии. Впадает в Финский залив Балтийского моря. Длина реки — 105 км. Пимжа — река в Эстонии и России. Длина — 93 км: 80 км на территории Эстонии и 13 км на территории Печорского района Псковской области России, площадь водосбора 796 км², средний уклон реки 2,2 %. Пылтсамаа — река в центральной части Эстонии. Длина 135 км. Относится к бассейну озера Выртсъярв (река третьего порядка). Пярну — река в Эстонии. Длина 144 км, площадь бассейна 6,910 км². Впадает в Пярнуский залив Рижского залива Балтийского моря. Харьяпеа — бывшая река в Таллине, Эстония. Река была длиной в несколько километров, вытекая из озера Юлемисте и впадая в Таллинский залив. Эмайыги — река в Эстонии бассейна р. Нарва. Название Эмайыги переводится с эстонского языка как мать-река. На берегу реки расположен эстонский город Тарту. В нижнем течении судоходна.