ответ:x∈ (-4;-2)
Пошаговое объяснение:
Степенной ряд в общем виде записывается следующим образом: ∑anxn , где an - формула числовых коэффициентов. Для данного ряда:
aₙ=1/ (n-ln²n)
Областью сходимости степенного ряда является интервал (-R;R), где:
R=limn→∞∣aₙ/aₙ₊₁∣
R - радиус сходимости. Вычислим его:
x1 = -3 - 1 = -4
x2 = -3 + 1 = -2
Итак, ряд является сходящимся (абсолютно) при всех x, принадлежащих интервалу (-4;-2)
Теперь проверим сходимость ряда на концах этого интервала.
Пусть x = -4
Получаем ряд: ∑ 1/ (n-ln²n) · (3-2·(-4))ⁿ=∑(-1)ⁿ/(n-ln²n)
Исследуем сходимость ряда при признаков сходимости.
Рассмотрим первые три члена ряда:
a₁=-1 a₂=1/(2-ln²2) a₃= -1/(3-ln²3)
Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.
а) По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие выполняется :
1> 1/(2-ln²n) > 1/(3-ln²n)
б) По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0.
lim n→∞ aₙ=0
Второе условие Лейбница выполняется: limn→∞ 1/(n-ln²n)=0
Таким образом, рассматриваемый ряд сходится.
Чтобы говорить об абсолютной или условной сходимости, необходимо исследовать ряд по одному из признаков сходимости рядов.
Исходное выражение можно упростить:
lim n→∞ (n-ln²n)=n
Тогда исходный ряд можно представить в виде: lim n→∞ 1/n
Исследуем сходимость ряда при интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл:
∫₁°° dn/n= ln n|₁°° =lim n→∞ ln(n) - 0= ∞-0=∞
Так как несобственный интеграл расходится, то расходится и исследуемый ряд.
Следовательно, ряд сходится условно.
Ряд расходится, значит, x = -4 - точка расходимости.
При x = -2
получаем ряд: ∑ 1/ (n-ln²n) · (3-2·(-2))ⁿ=∑ 1/(n-ln²n)
Исследуем его сходимость при признаков сходимости.
lim n→∞ 1/(n-ln²n)
Исходное выражение можно упростить: lim n→∞ (n-ln²n)=n
Тогда исходный ряд можно представить в виде: lim n→∞ 1/n
Исследуем сходимость ряда при интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл:
∫₁°° dn/n= ln n|₁°° =lim n→∞ ln(n) - 0= ∞-0=∞
Так как несобственный интеграл расходится, то расходится и исследуемый ряд.
Значит, x = -2 - точка расходимости.
Таким образом, данный степенной ряд является сходящимся при:
x∈ (-4;-2)
