![\int \frac{x-1}{x^2-2x+2}\, dx=\int \frac{(x-1)\, dx}{(x-1)^2+1}=[\; t=x-1\; ,\; dx=dt\; ]=\int \frac{t\, dt}{t^2+1}=\\\\=\frac{1}{2}\int \frac{2t\, dt}{t^2+1}=\frac{1}{2}\int \frac{d(t^2+1)}{t^2+1}=\frac{1}{2}\cdot ln|t^2+1|+C=\frac{1}{2}\cdot ln(x^2-2x+2)+C](/tpl/images/1041/9759/6f12e.png)
Перепишем подынтегральное выражение: 
; Сделав замену 
, перепишем интеграл: 
; Рассмотрим треугольник с катетами 
и 1 и гипотенузой 
; Подынтегральное выражение теперь можно записать как 
; Или в терминах одного из углов того треугольника: 
; Осталось только переписать дифференциал через 
. Имеем: 
; Откуда 
; Получаем интеграл: 
; Замена к u: 
; Наконец, замена к x: 
