Винституте обучается 1000 студентов. в столовой имеется 105 посадочных мест. каждый студент отправляется в столовую на третьей перемене с вероятностью 0,1. найти вероятность того, что на третьей перемене столовая будет заполнена не более чем на 2/3.

Добрый день!

Для решения данной задачи, нам нужно сначала посчитать, сколько студентов в среднем будет отправляться на третью перемену в столовую.

Имеем 1000 студентов которые могут отправиться в столовую с вероятностью 0,1. Таким образом, математическое ожидание числа студентов, отправляющихся на третью перемену в столовую можно посчитать по формуле:

E[X] = n * p,

где n - количество студентов (1000), а p - вероятность отправки в столовую на третьей перемене (0,1).
Подставляем значения:

E[X] = 1000 * 0,1 = 100.

Таким образом, в среднем 100 студентов отправляются на третью перемену в столовую.

Теперь нам нужно найти вероятность того, что на третьей перемене столовая будет заполнена не более чем на 2/3, то есть максимум на (2/3 * 105) = 70 посадочных мест.

Для решения этого мы можем использовать биномиальное распределение. Вероятность появления k успехов из n независимых испытаний с вероятностью успеха p каждое испытание определяется формулой:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n-k),

где P(X = k) - вероятность появления k успехов, C(n, k) - число сочетаний из n по k, p^k - вероятность k успехов, (1-p)^(n-k) - вероятность (n - k) неудач.

В нашем случае, нам нужно найти вероятность того, что на третьей перемене столовая будет заполнена не более чем на 70 посадочных мест. То есть, мы считаем вероятности всех возможных вариантов заполнения столовой от 0 до 70 посадочных мест. После этого, мы суммируем все найденные вероятности, чтобы получить окончательный ответ.

Для удобства расчетов, воспользуемся таблицей значений функции C(n, k).

k = 0:
C(100, 0) = 1
p^0 = 0,9^100 = 0,00000000348
(1 - p)^(100-0) = 0,0000000000211
P(X = 0) = 1 * 0,00000000348 * 0,0000000000211 = 0,00000000000000000007338

k = 1:
C(100, 1) = 100
p^1 = 0,9^1 = 0,9
(1 - p)^(100-1) = 0,048
P(X = 1) = 100 * 0,9 * 0,048 = 0,432

k = 2:
C(100, 2) = 100 * 99 / 2 = 4950
p^2 = 0,9^2 = 0,81
(1 - p)^(100-2) = 0,00000315
P(X = 2) = 4950 * 0,81 * 0,00000315 = 0,00156

...

Продолжаем вычисления для всех значений k от 0 до 70, суммируем найденные вероятности и получаем окончательный ответ.

Однако, данное решение является достаточно громоздким в плане расчетов. Если вы хотите, я могу предложить альтернативный подход с использованием многократного применения формулы биномиального распределения, который позволяет сильно упростить расчеты.