Самостоятельная аудиторная работа
№15 «декартова система координат в
пространстве»
вариант № 8
1.построить точки с координатами:
д(-5; 3; 7); е(6; -7; 8)
2.найдите координаты центра и радиус
окружности:
х* +y+12y-13=0
3.составьте уравнение плоскости,
проходящей через точку а(х1; у1; z1) и
перпендикулярной вектору
n=(а; в; с), если a(3; 0; -3), n=(4; 5; 6)
4. составьте уравнение окружности с
центром в точке (-2; 5) иr =3.
5.найти точку пересечения прямых:
5x-2y-7=0 и
3х+4y-25=0​

1. Для построения точек с данными координатами, мы используем трехмерную декартову систему координат.
- Для точки D(-5, 3, 7) мы начинаем с начала координат (0, 0, 0) и двигаемся влево по оси x на 5 единиц, затем вверх по оси y на 3 единицы и, наконец, вперед по оси z на 7 единиц. Точка D располагается в этой позиции.
- Для точки E(6, -7, 8) мы начинаем с начала координат (0, 0, 0) и двигаемся вправо по оси x на 6 единиц, затем вниз по оси y на 7 единиц и, наконец, вперед по оси z на 8 единиц. Точка E располагается в этой позиции.

2. Чтобы найти координаты центра и радиус окружности, представленной уравнением х^2 + y + 12y - 13 = 0, мы сначала приводим уравнение к стандартному виду окружности (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2, где (a, b) - координаты центра окружности, r - радиус окружности.

Для этого сгруппируем все члены переменной y вместе:
(x^2) + (y + 12y) - 13 = 0
(x^2) + (13y) - 13 = 0

Теперь, чтобы сгруппировать коэффициенты переменной y, выносим общий множитель:
(x^2) + 13(y - 1) = 13

Из этого выражения мы видим, что коэффициент при y - 1 равен 13. Теперь делим обе стороны на 13:
(x^2) + (y - 1) = 1

Уравнение принимает стандартную форму (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2, где a = 0, b = 1 и r^2 = 1. Значит, центр окружности равен (0, 1), а радиус равен 1.

3. Чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(x1, y1, z1) и перпендикулярной вектору n = (a, b, c), мы используем уравнение плоскости в общей форме:

a(x-x1) + b(y-y1) + c(z-z1) = 0

Заменяем значения точки A(x1, y1, z1) = (3, 0, -3) и вектора n = (a, b, c) = (4, 5, 6) в уравнение:

4(x-3) + 5(y-0) + 6(z+3) = 0
4x - 12 + 5y + 6z + 18 = 0
4x + 5y + 6z + 6 = 0

Получаем уравнение плоскости, проходящей через точку A(3, 0, -3) и перпендикулярной вектору n = (4, 5, 6).

4. Для составления уравнения окружности с центром в точке (-2, 5) и радиусом r = 3, мы используем стандартную формулу окружности (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2. Подставляем значения центра и радиуса в уравнение:

(x-(-2))^2 + (y-5)^2 = 3^2
(x+2)^2 + (y-5)^2 = 9

Получаем уравнение окружности с центром в точке (-2, 5) и радиусом r = 3.

5. Чтобы найти точку пересечения прямых 5x - 2y - 7 = 0 и 3х + 4y - 25 = 0, решаем систему уравнений двух прямых.

Мы можем решить эту систему методом подстановки или методом сложения/вычитания. В этом случае выберем метод сложения/вычитания.

Умножаем первое уравнение на 2 и второе уравнение на 5, чтобы получить равные коэффициенты y:

10x - 4y - 14 = 0
15x + 20y - 125 = 0

Теперь вычитаем первое уравнение из второго:

15x + 20y - 125 - (10x - 4y - 14) = 0
15x + 20y - 125 - 10x + 4y + 14 = 0
5x + 24y - 111 = 0

Решаем это уравнение относительно y:

24y = -5x + 111
y = (-5x + 111) / 24

Заменяем y в одном из исходных уравнений:

5x - 2((-5x + 111) / 24) - 7 = 0
5x + (10x - 222) / 24 - 7 = 0
5x + 10x - 222 - 168 = 0
15x - 390 = 0
15x = 390
x = 390 / 15
x = 26

Подставляем найденное значение x в уравнение y:

y = (-5(26) + 111) / 24
y = (-130 + 111) / 24
y = -19 / 24

Таким образом, точка пересечения прямых равна (26, -19/24).