Дано комплексное число a=4/1-i . требуется: 1) записать число a в и тригонометрической форме; 2) найти все корни уравнения z^3=a^2

Хорошо, давайте разберем по порядку каждую часть задачи.

1) Запись числа a в алгебраической (обычной) форме:
Комплексное число a задано в виде a = 4/(1-i).
Для приведения числа к алгебраической (обычной) форме, нужно провести операцию над дробью.
Учитывая, что у нас в числителе и знаменателе комплексные числа, необходимо привести знаменатель к вещественному числу.

Для этого умножим числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное значение знаменателя:
a = 4/(1-i) * (1+i)/(1+i)

Далее, расскроем скобки в числителе:
a = (4 * (1+i)) / (1-i^2)

Учитывая, что i^2 равно -1, мы получаем:
a = (4 * (1+i))/ (1-(-1))

Продолжим упрощать:
a = (4 * (1+i))/(1+1)
a = (4 * (1+i))/2
a = 2 * (1+i)

Таким образом, число a в алгебраической форме равно a = 2 + 2i.

2) Теперь перейдем к нахождению корней уравнения z^3 = a^2.

Мы знаем, что формула для нахождения корней из комплексного числа в алгебраической форме имеет вид:
z = √(r) * (cos(θ/n) + i*sin(θ/n))

Для нашего уравнения z^3 = a^2, у нас есть возведение в степень 3, поэтому мы будем искать 3 корня.

В нашем случае, r = |a^2|, где |a^2| - модуль числа a^2.

Найдем модуль числа a^2:
|a^2| = |(2 + 2i)^2|

Раскроем скобки в числителе:
|a^2| = |4 + 8i + 4i^2|

Учитывая, что i^2 = -1, получим:
|a^2| = |4 + 8i - 4|

Упрощаем:
|a^2| = |-4 + 8i|

Теперь вычисляем модуль:
|a^2| = √((-4)^2 + (8)^2)
|a^2| = √(16 + 64)
|a^2| = √80
|a^2| = 4√5

Таким образом, мы имеем значение модуля числа a^2 равное 4√5.

Мы также знаем, что аргумент угла для комплексного числа a^2 равен:
θ = arg(a^2)

Для нахождения значения аргумента, нам нужно использовать формулу:
θ = arctan(b/a), где b - мнимая часть числа a^2, a - вещественная часть числа a^2.

В нашем случае:
θ = arctan(8/(-4))
θ = arctan(-2)

Для нахождения значения аргумента, нам надо учесть, что значение функции арктангенса находится во II и IV квадрантах.

Таким образом, наш аргумент θ может быть представлен в виде:
θ = arctan(-2) + π

Теперь, мы можем найти значения корней уравнения.
Для этого подставим найденные значения модуля и аргумента в формулу:

z = ∛(4√5) * (cos((arctan(-2) + π)/3) + i*sin((arctan(-2) + π)/3))
∛(4√5) * (cos((arctan(-2) + π)/3) + i*sin((arctan(-2) + π)/3))
∛(4√5) * (cos(π/3 + π) + i*sin(π/3 + π))
∛(4√5) * (cos(2π/3) + i*sin(2π/3))

Как уже упоминалось, у нас 3 корня, поэтому мы должны также найти два остальных корня, добавив значения аргумента π/3 и 2π/3.

Окончательно, мы получаем 3 корня уравнения z^3 = a^2:
z1 = ∛(4√5) * (cos(π/3 + π) + i*sin(π/3 + π))
z2 = ∛(4√5) * (cos(π/3) + i*sin(π/3))
z3 = ∛(4√5) * (cos(2π/3) + i*sin(2π/3))

Надеюсь, это понятно. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!