Даны точки а(-4; 6; -3), b(7; -3; 5), c(-5; 4; 0),
d(3; 0; -5). найти:
1) координаты ас
2) расстояние между точками в и а
3) координаты середины о отрезка cb
4) cb-ad
5) угол между векторами cb и ad
6) угол между прямыми dc и ab
7 (cа + db)*bс
8) коллинеарны ли векторы cb и аd?
(ответ обосновать)
п. векторы а и b образуют угол 120°, [a] = 4 , [b]=√3
= v3 найти скалярное произведение
векторов.
хотя бы несколько ​

1) Координаты АС:
Для нахождения координат вектора АС (AS), нужно вычесть из координат точки C координаты точки А:
AS = SC - SA
AS(x, y, z) = (xC - xA, yC - yA, zC - zA)
AS = (-5 - (-4), 4 - 6, 0 - (-3))
AS = (-1, -2, 3)

2) Расстояние между точками В и А:
Для нахождения расстояния между точками В и А, нужно использовать формулу:
d = √((xB - xA)^2 + (yB - yA)^2 + (zB - zA)^2)
d = √((7 - (-4))^2 + (-3 - 6)^2 + (5 - (-3))^2)
d = √((11)^2 + (-9)^2 + (8)^2)
d = √(121 + 81 + 64)
d = √(266)
d ≈ 16.31

3) Координаты середины О отрезка CB:
Для нахождения координат середины точки О отрезка CB (midpoint О), нужно использовать формулу:
midpoint О = (xC + xB)/2, (yC + yB)/2, (zC + zB)/2
midpoint О = (-5 + 7)/2, (4 + (-3))/2, (0 + 5)/2
midpoint О = (2)/2, (1)/2, (5)/2
midpoint О = (1, 0.5, 2.5)

4) CB - AD:
Для нахождения вектора CB - AD, нужно вычесть из координат вектора CB координаты вектора AD:
CB - AD = (xCB - xAD, yCB - yAD, zCB - zAD)
CB - AD = (-5 - 3, 4 - 0, 0 - (-5))
CB - AD = (-8, 4, 5)

5) Угол между векторами CB и AD:
Для нахождения угла между векторами CB и AD, нужно использовать формулу:
cosθ = (CB·AD) / (|CB| * |AD|)
где CB·AD - скалярное произведение векторов CB и AD
|CB| и |AD| - длины векторов CB и AD

Сначала найдем скалярное произведение CB·AD:
CB·AD = xCB * xAD + yCB * yAD + zCB * zAD
CB·AD = (-5) * 3 + 4 * 0 + 0 * (-5)
CB·AD = -15 + 0 + 0
CB·AD = -15

Далее найдем длины векторов CB и AD:
|CB| = √((-5)^2 + 4^2 + 0^2)
|CB| = √(25 + 16 + 0)
|CB| = √41

|AD| = √(3^2 + 0^2 + (-5)^2)
|AD| = √(9 + 0 + 25)
|AD| = √34

Теперь можем найти cosθ:
cosθ = (-15) / (√41 * √34)
cosθ ≈ -0.748

И наконец, находим угол θ, используя обратную функцию cos^(-1):
θ ≈ cos^(-1)(-0.748)
θ ≈ 137.02°

6) Угол между прямыми DC и AB:
Угол между прямыми можно найти, используя косинус угла между направляющими векторами прямых. Для этого нужно найти направляющие векторы прямых DC и AB.

Направляющий вектор прямой DC (vDC) = SC - DC
vDC = (xC - xD, yC - yD, zC - zD)
vDC = (-5 - 3, 4 - 0, 0 - (-5))
vDC = (-8, 4, 5)

Направляющий вектор прямой AB (vAB) = SB - AB
vAB = (xB - xA, yB - yA, zB - zA)
vAB = (7 - (-4), -3 - 6, 5 - (-3))
vAB = (11, -9, 8)

Теперь найдем cosθ, используя формулу скалярного произведения и длин векторов:
cosθ = (vDC · vAB) / (|vDC| * |vAB|)
где vDC · vAB - скалярное произведение векторов vDC и vAB
|vDC| и |vAB| - длины векторов vDC и vAB

Сначала найдем скалярное произведение vDC · vAB:
vDC · vAB = xDC * xAB + yDC * yAB + zDC * zAB
vDC · vAB = (-8) * 11 + 4 * (-9) + 5 * 8
vDC · vAB = -88 - 36 + 40
vDC · vAB = -84

Далее найдем длины векторов vDC и vAB:
|vDC| = √((-8)^2 + 4^2 + 5^2)
|vDC| = √(64 + 16 + 25)
|vDC| = √105

|vAB| = √(11^2 + (-9)^2 + 8^2)
|vAB| = √(121 + 81 + 64)
|vAB| = √266

Теперь можем найти cosθ:
cosθ = (-84) / (√105 * √266)
cosθ ≈ -0.993

И наконец, находим угол θ, используя обратную функцию cos^(-1):
θ ≈ cos^(-1)(-0.993)
θ ≈ 173.19°

7) (CA + DB) · BC:
Для вычисления скалярного произведения (CA + DB) · BC, сначала найдем векторы CA, DB и BC, а затем выполним их сумму (CA + DB) и умножим на BC.

CA = (xAC - xA, yAC - yA, zAC - zA)
CA = (-5 - (-4), 4 - 6, 0 - (-3))
CA = (-1, -2, 3)

DB = (xDB - xD, yDB - yD, zDB - zD)
DB = (7 - 3, -3 - 0, 5 - (-5))
DB = (4, -3, 10)

BC = (xC - xB, yC - yB, zC - zB)
BC = (-5 - 7, 4 - (-3), 0 - 5)
BC = (-12, 7, -5)

Теперь найдем скалярное произведение (CA + DB) · BC:
(CA + DB) · BC = (xCA + xDB) * xBC + (yCA + yDB) * yBC + (zCA + zDB) * zBC
(CA + DB) · BC = (-1 + 4) * (-12) + (-2 + (-3)) * 7 + (3 + 10) * (-5)
(CA + DB) · BC = 3 * (-12) + (-5) * 7 + 13 * (-5)
(CA + DB) · BC = -36 - 35 - 65
(CA + DB) · BC = -136

8) Коллинеарны ли векторы CB и AD?
Для проверки коллинеарности векторов CB и AD, нужно убедиться, что их направляющие векторы пропорциональны (то есть могут быть умножены на одно и то же число, чтобы получить один вектор из другого).

Направляющий вектор CB (vCB) = SC - CB
vCB = (xC - xB, yC - yB, zC - zB)
vCB = (-5 - 7, 4 - (-3), 0 - 5)
vCB = (-12, 7, -5)

Направляющий вектор AD (vAD) = SA - AD
vAD = (xA - xD, yA - yD, zA - zD)
vAD = (-4 - 3, 6 - 0, -3 - (-5))
vAD = (-7, 6, 2)

Теперь проверим, можно ли один вектор получить умножением другого на какое-то число:
vCB = k * vAD

Для этого нужно сравнить соответствующие координаты векторов:
(-12, 7, -5) = k * (-7, 6, 2)

Составляем систему уравнений:
-12 = -7k
7 = 6k
-5 = 2k

Решаем систему уравнений:
-12 + 7k = 6
7k = 6 + 12
7k = 18
k = 18/7 ≈ 2.571

Таким образом, векторы CB и AD не коллинеарны, так как их направляющие векторы не пропорциональны.

Последний вопрос:
Векторы А и В образуют угол 120°, [А] = 4, [В] = √3 (корень из 3).
Найдем скалярное произведение векторов.
Для этого воспользуемся формулой:
А · В = |А| * |В| * cosθ

Где |А| и |В| - длины векторов А и В, а cosθ - косинус угла между ними (в данном случае cos120° = -1/2).

А · В = 4 * (√3) * (-1/2)
А · В = -2√3

Итак, скалярное произведение векторов А и В равно -2√3.