Докажем ( X ∩ Y ) ∪ Z = (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z ).
1. Пусть, сначала, а ∈ ( X ∩ Y ) ∪ Z, тогда
или 1) а ∈ X ∩ Y ⇒ а ∈ X и а ∈ Y ⇒ а ∈ X ∪ Z и а ∈ Y ∪ Z ⇒
⇒ а ∈ (X ∪ Z ) ∩ (Y ∪ Z )
или 2) а ∈ Z ⇒ а ∈ Z ∪ X = X ∪ Z и а ∈ Z ∪ Y = Y ∪ Z ⇒
⇒ а ∈ (X ∪ Z ) ∩ (Y ∪ Z )
Тогда ( X ∩ Y ) ∪ Z ⊂ (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z ).
2. Пусть, теперь, а ∈ (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z ), тогда а ∈ X ∪ Z и а ∈ Y ∪ Z.
Если а ∈ Z ⇒ а ∈ Z ∪ ( X ∩ Y ) = ( X ∩ Y ) ∪ Z.
Если а ∉ Z, то а ∈ X и а ∈ Y , в противном случае а ∉ (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z ).
Значит, а ∈ X и а ∈ Y ⇒ а ∈ X ∩ Y ⇒ а ∈ ( X ∩ Y ) ∪ Z
Тогда (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z ) ⊂ ( X ∩ Y ) ∪ Z.
Из включений
( X ∩ Y ) ∪ Z ⊂ (X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z )
(X ∪ Z )∩ (Y ∪ Z ) ⊂ ( X ∩ Y ) ∪ Z
получаем равенство!
Пусть Ш - масса голодного шакала, В - масса голодного волка, О - масса голодной овцы, k·O - часть овцы (0<k<1), которую съел шакал, тогда (1-k)·О - часть овцы, которую съел волк (k+1-k=1).
Сытый шакал : Ш+ k·O. Сытый волк : В+ (1-k)·O
Система по условию задачи
В < Ш + k·O - голодный волк легче сытого шакала
2Ш = В + (1-k)·O - 2 голодных шакала и сытый волк
К полученному неравенству добавляем почленно верное равенство
В + 2Ш < Ш + k·O + В + (1-k)·O
2Ш - Ш < (k+1-k)·O
Ш < O
ответ : голодный шакал легче голодной овцы
