Докажите, что n в 6 степени минус n в 4 степени минус n в 2 степени плюс 1 делится на 128 при нечетном n

Хорошо, чтобы понять, докажем эту формулу для нечетного числа n шаг за шагом.

Для начала, давайте предположим, что n - нечетное число. Тогда мы можем представить n в виде n = 2k + 1, где k - целое число.

Теперь докажем, что данная формула верна для n = 2k + 1.

Раскроем выражение:
n^6 - n^4 - n^2 + 1 = (2k+1)^6 - (2k+1)^4 - (2k+1)^2 + 1

Возведение (2k + 1) в любую степень - это разложение бинома, которое можно записать в следующей форме:

(2k + 1)^n = C(n,0)*(2k)^n * 1^0 + C(n,1)*(2k)^(n-1) * 1^1 + C(n,2)*(2k)^(n-2) * 1^2 + ... + C(n,n-1)*(2k)^1 * 1^(n-1) + C(n,n)*(2k)^0 * 1^n

Где C(n, i) - биномиальные коэффициент.

Так как (2k) - четное число, а (2k + 1) - нечетное число, то все слагаемые в виде (2k)^x * 1^y, где х - четное и y - нечетное, будут кратными 2. То есть, все слагаемые вида (2k)^x * 1^y делятся на 2 и, следовательно, на 128.

Также заметим, что все слагаемые вида C(n, i)*(2k)^(n-i) * 1^i, где i - нечетное, будут содержать множитель 2k и (2k + 1), поэтому они делятся на (2k) и (2k + 1).

Теперь давайте рассмотрим выражение (2k + 1)^6 - (2k + 1)^4 - (2k + 1)^2 + 1.

(2k + 1)^6 - (2k + 1)^4 - (2k + 1)^2 + 1 = [(2k + 1)^4][(2k + 1)^2 - 1] - (2k + 1)^2 + 1

(2k + 1)^4 = C(6,0)*(2k)^6 * 1^0 + C(6,1)*(2k)^5 * 1^1 + C(6,2)*(2k)^4 * 1^2 + C(6,3)*(2k)^3 * 1^3 + C(6,4)*(2k)^2 * 1^4 + C(6,5)*(2k)^1 * 1^5 + C(6,6)*(2k)^0 * 1^6

Мы заметим, что все слагаемые, кроме C(6,6)*(2k)^0 * 1^6, делятся на (2k) и (2k + 1), так как (2k) - четное число и (2k + 1) - нечетное число. Поэтому мы можем записать:

(2k + 1)^4 = (2k + 1)(a)

где (a) - это некоторое число.

Теперь рассмотрим выражение (2k + 1)^2 - 1:

(2k + 1)^2 - 1 = 4k^2 + 4k + 1 - 1 = 4k(k + 1)

Мы получили выражение, которое делится на 4 и (2k), тем самым оно делится на 128.

Теперь вернемся к исходному выражению и подставим (2k + 1)^4 и (2k + 1)^2 - 1:

[(2k + 1)^4][(2k + 1)^2 - 1] - (2k + 1)^2 + 1 = (2k + 1)(a)[4k(k + 1)] - 4k(k + 1) + 1

Вынесем общий множитель и упростим:

(2k + 1)(a)[4k(k + 1)] - 4k(k + 1) + 1 = [(2k + 1)(a) - 1](4k(k + 1)) + 1

Теперь мы можем заметить, что каждое слагаемое, кроме "+ 1", делятся на 128 (так как они содержат множитель 4k и (2k + 1)), поэтому прибавление "+ 1" не повлияет на результат деления на 128.

Таким образом, мы показали, что при нечетном n выражение n^6 - n^4 - n^2 + 1 делится на 128.