Найдите наименьшее значение выражения
1) 9х^2+у^2-6х-2у+19
2) 4х^2+9у^2! 7у+3
3) (2х+у)^2+8 (2х+у)+18
15

1) При каких значениях x функция y=3x^2+5x+3 принимает значение равное 5.
Для этого вместо у надо подставить значение 5:
3x^2+5x+3 = 5.
Получаем квадратное уравнение:
3x^2+5x-2 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: 
Ищем дискриминант:D=5^2-4*3*(-2)=25-4*3*(-2)=25-12*(-2)=25-(-12*2)=25-(-24)=25+24=49;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:x_1=(√49-5)/(2*3)=(7-5)/(2*3)=2/(2*3)=2/6=1/3;x_2=(-√49-5)/(2*3)=(-7-5)/(2*3)=-12/(2*3)=-12/6=-2.
В точках х=1/3 и х=-2 функция имеет значение у=5.
2)Постройте график функции y=3x^2+4 с графика найдите наибольшие и наименьшие значения функции.

График функции y=3x^2+4 - парабола ветвями вверх с вершиной на оси ординат в точке х=0, у=4. Это и есть минимальное значение функции.
Максимального значения у такой функции нет.
Для построения графика надо вместо х подставить несколько значений и рассчитать у. Потом по полученным точкам построить кривую.

3)Постройте график функции y=x^2+4x-12.Найдите по графику промежутки возрастания и убывания функции.
Находим вершину параболы: хо = -в/2а = -4/2 = -2.
Так как  парабола ветвями вверх, то к вершине функция слева убывает, а после вершины направо возрастает.

4)Найдите точки пересечения графика функций y=x-3 и y=(x-3)^2-2.
Для нахождения точки пересечения надо приравнять функции:
x-3 =(x-3)^2-2. Раскроем скобки и приведём подобные:
x-3 = x²-6х+9-2.
х²-7х+10 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: 
Ищем дискриминант:D=(-7)^2-4*1*10=49-4*10=49-40=9;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:x₁=(√9-(-7))/(2*1)=(3-(-7))/2=(3+7)/2=10/2=5;x₂=(-√9-(-7))/(2*1)=(-3-(-7))/2=(-3+7)/2=4/2=2.
Полученные значения х₁=2 и х₂=5 и есть точки пересечения графиков  по оси х.
Находим значения по оси у:х₁=2   у₁ = 2-3 = -1.
х₂=5   у₂ = 5-3 = 2. 

Даны координаты вершин пирамиды АВСD :

А(-5;-1;8), В(2;3;1), С(4;1;-2), D(6;3;7).

Найти: 1. Длину | вектор |АВ| = √((2-(-5))² + (3-(-1))² + (1-8)²) =

            √(49 + 16 + 49) = √114 ≈ 10,67708.  

2. Величину угла  между векторами АВ и АС.

Вектор АВ = (7; 4; -7) определён в п. 1. Модуль = √114 ≈ 10,67708.

Вектор АС = (9; 2; -10), √(81+4+100) = √185 ≈ 13,60147.

cos(AB_AC) = (7*9+4*2+(-7)*(-10))/(√114*√185) = 141/√21090 =  

             = 141/145,223965 ≈ 0,970914133 .

Угол равен arc cos (141/√21090) = 0,241777  радиан или 13,85278  градуса.

3. Площадь грани АСD,

Находим векторы АС и АD.

Вектор АC = (9; 2; -10) определён в п. 1. Модуль = √185 ≈ 13,60147.

Вектор АD = (11; 4; -1), √(121+16+1) = √138 ≈ 11,74734.

Площадь грани ACD равна половине модуля векторного произведения: S = (1/2)|AC*AD|.

 i        j       k|       i        j

9      2    -10|      9      2

11      4      -1|     11      4   =   -2i - 110j + 36k + 9j + 40i - 22k =

                                        =   38i - 101j + 14k = (38; -101; 14).

Модуль равен √(38² + (-101)² + 14²) = √11841  ≈ 108,8163591 .

Площадь S = (1/2)*√11841  = 54,40817953 .

4. Объем АВСD(объем пирамиды ).

Объём пирамиды V = (1/6)*|(ABxAC)*AD|.

Вектор АВ = (7; 4; -7) определён в п. 1. Модуль = √114 ≈ 10,67708.

Вектор АС = (9; 2; -10), √(81+4+100) = √185 ≈ 13,60147. (см. п. 2).

i        j       k|       i        j

7      4      -7|       7      4

9      2     -10|     9      2   =   -40i - 63j + 14k + 70j +1 4i - 36k =

                                        =   -26i + 7j - 22k = (-26; 7; -22).

Модуль равен √((-26)² + 7² + (-22)²) = √1209  ≈ 34,7706773 .

5. Уравнение стороны ВС. Вектор ВС = (2; -2; -3).

(x - 2)/2 = (y - 3)/(-2) = (z - 1)/(-3).

6. Уравнение грани АВD по точкам А(-5;-1;8), В(2;3;1), D(6;3;7).

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA          y - yA         z - zA

xB - xA         yB - yA         zB - zA

xC - xA         yC - yA          zC - zA

 = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - (-5)       y - (-1)              z - 8

2 - (-5)       3 - (-1)      1 - 8

6 - (-5)       3 - (-1)       7 - 8

 = 0

x - (-5) y - (-1) z - 8

7 4 -7

11 4 -1

 = 0

x - (-5)  4·(-1)-(-7)·4  -  y - (-1)  7·(-1)-(-7)·11  +  z - 8  7·4-4·11  = 0

24 x - (-5)  + (-70) y - (-1)  + (-16) z - 8  = 0

24x - 70y - 16z + 178 = 0  или, сократив на 2

12x - 35y - 8z + 89 = 0 .

7.Уравнение высоты СН к грани АВD .

Нормальный вектор плоскости АВД принимаем из её уравнения:

АВД = (12; -35; -8).

Тогда уравнение высоты СН:

(x - 4)/12 = (y - 1)/(-35) = (z + 2)/(-8).