Плоскости альфа и бета пересекаются по прямой d. точка а лежит в плоскости альфа, точка в- в плоскости бета, причём ни одна из них не лежит на прямой d. докажите, что прямые d и ав скрещиваются.

Аrc( Arcus) - угол
Как понять запись arcSin 1/2? Это : угол, синус которого = 1/2. смотрим в таблицу углов и видим, что arcSin 1/2 = π/6
Теперь начнём
1) arctg1 - arctg√3 = π/4 - π/3 = -π/12
2)Ctg(1/2 arcCos(-1/3)) =      ( применим формулу Ctg a/2 = Sina/(1 - Cosa) )
= Sin(arcCos(-1/3))/(1 - Cos(arcCos(-1/3))= √(1 - 1/9)/(1+1/3)=√2/2
3)Sin(arcSin3/5 + arcSin8/17) =           (применим формулу  Sin(a + b)
=Sin(arcSin3/5)Cos(arcSin 8/17) + Cos(arcSin3/5)Sin(arcSin 8/17)=
=3/5·√(1 - 64/289) + √(1 - 9/25)·8/17 = 3/5·15/17 + 4/5·8/17 = 77/85

Три самых маленьких простых числа - 2, 3, 5, их сумма равна 10, т.о. если повторы не разрешены максимальное оставшееся число не может превышать 17 - 10 = 7. Если повторы разрешены, то 17 - 3*2 = 11.
Т.о. в первом случае мы можем использовать любые простые числа, не превышающие 7, а таких ровно 4 - 2, 3, 5, 7. Нетрудно увидеть, что их сумма ровно 17. Т.е. в случае, если повторы не разрешены мы имеем единственное решение.
В случае, если разрешены - мы можем использовать все вышеперечисленные числа и еще число 11. В этом случае подойдут варианты:
2 + 2 + 2 + 11 = 17
5 + 5 + 5 + 2 = 17
их довольно просто найти перебором
Итого, имеем наборы:
[2, 3, 5, 7] -> 2*3*5*7 = 210
[2, 2, 2, 11] -> 2^3 * 11 = 88
[5, 5, 5, 2] -> 5^3 *2 = 250