r(t) = i х(t) + j y(t) + kz(t),
где i, j, k – единичные вектора (орты), параллельные осям х, у, z соот-
ветственно, рис. 1.1.
Перемещение r
r = r2 – r1,
где r2 – радиус-вектор в момент времени
t2; r1 – радиус-вектор в момент времени
t1.
Модуль перемещения r
2 2 2
2 1 2 1 2 1 r x x y y z z .
Средняя величина скорости
s
t
v ,
где s – путь, пройденный за время t, рис. 1.1.
Средний вектор скорости
t
r
υ
или
t
r
υ
)
где r – перемещение за время t.
Средняя скорость как математическое среднее:
а) средняя по времени скорость
2
1
2 1
1
t
t
t
dt
t t
v v
;
б) усредненная по пути скорость
2
1
2 1
1
s
s
s
ds
s s
v v .
Мгновенная скорость
x y z
d dx dy dz
dt dt dt dt
r
υ i j k i j k v v v ,
где vх
, vy
, vz – проекции скорости на оси х, y, z соответственно.
)
Значение среднего может быть обозначено:
v v ср
или
v v ср
Модуль мгновенной скорости
222
x y z
v v v v .
Сложение скоростей
υ = υ1 + υ2,
где υ – скорость точки относительно неподвижной системы отсчета; υ1 –
скорость точки относительно подвижной системы отсчета; υ2 – скорость
подвижной системы отсчета относительно неподвижной.
Мгновенное ускорение
2 2 2 2
2 2 2 2 x y z
d d d x d y d z
a a a
dt dt dt dt dt
υ r a i j k i j k .
Модуль ускорения
222
x y z
a a a a .
Ускорение при криволинейном движении
a = an + a
,
2 2
n a a a
,
где
2
n
r
a n
v
– нормальное ускорение,
r
r
n
;
d | |
dt
a
v
– тангенци-
альное ускорение,
υ
v
.
Средняя и мгновенная угловая скорость вращения
t
;
d
dt
.
Среднее и мгновенное угловое ускорение
t
;
2
2
d d
dt dt
.
Угловая скорость для равномерного вращательного движения
2
2 n
T
,
где Т – период вращения; n – частота вращения.
Связь между линейными и угловыми величинами
υ = [, r], v = r;
a = [, r], a = r;
an =
2
rn,
2
2
n
a r
r
v
,
где – угловая скорость; – угловое ускорение; v – скорость движения
материальной точки по окружности радиуса r.
равнения координаты и проекции скорости на ось Ох для прямо-
линейного равноускоренного движения (а = const)
2
0 0 2
x
x
a t
x x t v ,
vх = v0х + aх
t,
2 2
0 0 2
x x x a x x v v .
Угол поворота радиуса-вектора r и угловая скорость для рав-
ноускоренного вращательного движения ( = const)
2
0
2
t
t
, = 0 t,
где 0 – начальная угловая скорость; – угловое ускорение.
Обратная задача кинематики поступательного движения тел
Уравнение скорости
1
1
( ) ( ) ( )
t
t
t t a t dt
v v .
Уравнение пути
1
( ) ( )
t
t
s t t dt
v .
Уравнение координаты
1
1
( ) ( ) ( )
t
t
x t x t t dt x
v .
Обратная задача кинематики вращательного движения тел
Уравнение угловой скорости
1
1
( ) ( ) ( )
t
t
t t t dt
.
Уравнение угла поворота радиус-вектора
1
1
( ) ( ) ( )
t
t
t t t dt
.
описания движения
1. В е к т о р н ы й . Положение точки задается кинематическим урав-
нением радиуса-вектора
r = r(t).
2. К о о р д и н а т н ы й . Положение точки задается кинематическими
уравнениями проекций радиуса-вектора r(t) на оси координат. В
декартовой системе координат:
х = х(t), у = y(t), z = z(t).
