Рассмотрим этот метод на примере:
Пусть дана химическая реакция:

Обозначим неизвестные коэффициенты:

Составим уравнения числа атомов каждого элемента, участвующего в химической реакции:
Для Fe: 
Для Cl: 
Для Na: 
Для P: 
Для O: 
Запишем их в виде общей системы:

В данном случае имеем пять уравнений для четырех неизвестных, причем пятое можно получить умножением четвертого на четыре, так что его можно смело отбросить.
Перепишем эту систему линейных алгебраических уравнений в виде матрицы:

