Сергей и Инна опытным путём выявили, что в пробирке № 1 присутствуют хлорид-ион и катион водорода, а в пробирке № 2
присутствуют хлорид-ион и катион аммония.
Инна сделала вывод о том, что в двух пробирках содержатся соли, Сергей считает, что в них находятся кислоты. В чём неправы Сергей и Инна? Что находится в пробирках № 1 и № 2? ответ поясните.

Сульфатная кислота - она же серная кислота H2SO4.
H2SO4 + 2NaOH = Na2SO4 + 2H2O
расствора кислоты 98г из них 10 массовых процентов - 100% кислота то есть 9,8г H2SO4(молекулярная масса 98) и 10 г 2NaOH (мол.масса 80) прореагировали.
Однако 1 грамм 100% кислоты может прореагировать с 80/98 = 0,82г каустической соды (NaOH). А значит 9,8г кислоты может вступить в реакцию с 9,8 * 0,82 = 8,04 г NaOH То есть NaOH у нас в избытке, и молекулярный баланс надо считать по кислоте. То есть, учитывая что из уровнения реакции H2SO4 + 2NaOH = Na2SO4 + 2H2O получаемого Na2SO4 (мол.масса 142) будет 142/(80+98) = 0,8 массовых долей. Или высчитывая из кислоты: 142/98 = 1,45 массовых долей. То есть из 9,8г 100% серной (сульфатной) кислоты может образоваться 9,8*1,45 = 14,21 г Na2SO4.  Рассуждения правильные, можете перепроверить арифметику.

Решение:
Ba+2H2O--->Ba(OH)2+H2
M(Ba)=137г/моль
n(Ba)=m/M=2.74/137=0.02моль
n[Ba(OH)2]=n(Ba)=0.02моль
M[Ba(OH)2]=171г/моль
m[Ba(OH)2]=n*M=0.02*171=3.42г
n(H2O)=2*n(Ba)=0.04моль
M(H2O)=18г/моль
m(H2O)=n*M=0.04*18=0.72г
BaO+H2O--->Ba(OH)2
M(BaO)=153г/моль
n(BaO)=m/M=4.59/153=0.03моль
n[Ba(OH)2]=n(BaO)=0.03моль
m[Ba(OH)2]=n*M=0.03*171=5.13г
n(H2O)=n(BaO)=0.03моль
m(H2O)=n*M=0.03*18=0.54г
Общая масса гидроксида бария равна:
m[Ba(OH)2]=3.42+5.13=8.55г
Пусть масса добавленной воды равна "х"г,тогда:
0.04=8.55/(8.55+x)
0.342+0.04x=8.55
0.04x=8.208
x=205.2
m(H2O)=205.2г
Также учтем воду, которая пошла на реакции:
m(H2O)=205.2+0.72+0.54=206.46г
ответ: m(H2O)=206.46г.